UA OPTI570 量子力學(xué)2 物質(zhì)波與物質(zhì)粒子

• • de Broglie relations
  • 波函數(shù)與Schroedinger方程

de Broglie relations

在光子被發(fā)現(xiàn)的同一時(shí)期，關(guān)于原子放射與吸收譜的研究發(fā)現(xiàn)原子只有在釋放或者吸收一個(gè)光子的時(shí)候才會(huì)有比較確定的頻率（根據(jù)Planck-Einstein relations，也就是有比較確定的能量），如果接受“the energy of atom is quantized”這個(gè)說法，上面的現(xiàn)象就比較好解釋了。這個(gè)時(shí)候原子的能量取值為$\{E_i,i=1,?,n\}$，釋放或者吸收一個(gè)光子如果造成原子的能量從$E_i$躍遷到$E_j$，那么這個(gè)光子的頻率應(yīng)該滿足
$$h{\nu }_{ij}=|E_i?E_j|$$

離散能階的存在是由Franck-Hertz實(shí)驗(yàn)證明的，Bohr將這種現(xiàn)象解釋為電子軌道（原子中的電子在一些固定的軌道上繞原子核運(yùn)動(dòng)，半徑越小的軌道能量越低），并與Sommerfeld一起提出了計(jì)算氫原子的電子軌道的經(jīng)驗(yàn)法則。1923年，de Broglie提出了物質(zhì)粒子（就是指能組成物質(zhì)的粒子，比如電子就是，它與原子核構(gòu)成原子，不同原子結(jié)合形成分子，各種各樣的分子組成物質(zhì)）有類似波粒二象性的的假說：material particles, just like photons, can have a wavelike aspect，基于這個(gè)假說他成功推導(dǎo)出了Bohr-Sommerfeld法則。1927年，Davisson和Germer的Electron Diffraction Experiment證明了物質(zhì)波的存在。

于是物質(zhì)粒子也有與光子類似的波粒二象性，它的粒子性與波動(dòng)性也會(huì)滿足Planck-Einstein Relations：
$$\begin{gathered} E=hv=?w \\ \text{p}=?\text{k} \end{gathered}$$

因?yàn)椴〝?shù)與波長之間滿足$\lambda =2\pi /|\text{k}|$，所以物質(zhì)波的波長與物質(zhì)粒子的動(dòng)量之間滿足：
$$\lambda =\frac{h}{|\text{p}|}$$

這個(gè)關(guān)系被稱為de Broglie Relation。我們知道普朗克常數(shù)是非常小的，所以物質(zhì)波的波長在宏觀層面幾乎不可能觀察到：

簡單考慮一下一維問題，de Broglie Relation為
$$\lambda =\frac{h}{p}$$

假設(shè)有一個(gè)灰塵顆粒，直徑為$1\mu$，質(zhì)量為$10^{?15}kg$，運(yùn)動(dòng)速度為$1mm/s$，那么它的物質(zhì)波波長為
$$\lambda =\frac{6.6\times 10^{?34}}{10^{?15}\times 10^{?3}}meter=6.6\times 10^{?16}meter<<1\mu$$

也就是說物質(zhì)波的波長相比灰塵顆粒自身的尺度都可以忽略不計(jì)。

波函數(shù)與Schroedinger方程

既然物質(zhì)波是存在的，物質(zhì)粒子也有與光子類似的波粒二象性，那么代表物質(zhì)粒子時(shí)空分布概率幅（probability amplitude）的波函數(shù)應(yīng)該如何構(gòu)造？我們可以類比光子的波函數(shù)，給出下面的結(jié)論：

用$\psi (\text{r},t)$表示物質(zhì)粒子的波函數(shù)，它代表物質(zhì)粒子在特定時(shí)間，特定空間位置的分布信息；

波函數(shù)$\psi (\text{r},t)$同樣表示概率幅，物質(zhì)粒子在時(shí)間$t$出現(xiàn)在空間位置$\text{r}$的概率密度是$|\psi (\text{r},t){|}^2$，用$\mathcal{P}(\text{r},t)$代表概率分布，則$$d\mathcal{P}(\text{r},t)\propto |\psi (\text{r},t){|}^2{d}^3\text{r}$$因?yàn)楦怕史植紳M足歸一性，所以$$d\mathcal{P}(\text{r},t)=\frac{|\psi (\text{r},t){|}^2{d}^3\text{r}}{\int |\psi (\text{r},t){|}^2{d}^3\text{r}}$$

波函數(shù)滿足量子的譜分解原則：物質(zhì)粒子存在一系列本征態(tài)$\{a\}$，如果在$t_0$它的波函數(shù)為${\psi }_a(\text{r})$就稱它此時(shí)處于本征態(tài)$a$，知道了所有的本征態(tài)與本征態(tài)下的波函數(shù)后可以把波函數(shù)分解為$$\psi (\text{r},t_0)=\sum _a{c}_a{\psi }_a(\text{r})$$并且本征態(tài)$a$出現(xiàn)的概率為$|c_a|/{\sum }_a|c_a{|}^2$

波函數(shù)的形式由Schroedinger方程給出：$$i?\frac{?}{?t}\psi (\text{r},t)=?\frac{{?}^2}{2m}\Delta \psi (\text{r},t)+V(\text{r},t)\psi (\text{r},t)$$其中$\Delta$是Laplace算子，$\Delta =???$，$m$代表粒子的質(zhì)量，$V(\text{r},t)$代表它的potential；關(guān)于Schroedinger方程的驗(yàn)證與應(yīng)用放在后續(xù)內(nèi)容中，這里只作為相關(guān)結(jié)果先放在這里。

波函數(shù)的意義是決定了粒子的量子態(tài)（quantum state），在經(jīng)典力學(xué)中，決定一個(gè)粒子給定時(shí)刻狀態(tài)的是$\text{r},\dot{\text{r}}$這兩個(gè)矢量，知道了這兩個(gè)矢量就可以確定粒子在此刻的運(yùn)動(dòng)狀況；但在量子力學(xué)中，一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)分布是隨機(jī)的，所以描述其狀態(tài)需要概率幅，或者說波函數(shù)。

雖然我們根據(jù)物質(zhì)粒子與光子的相似點(diǎn)總結(jié)了一些波函數(shù)的性質(zhì)，但實(shí)際上在非相對(duì)論量子力學(xué)的范疇中，物質(zhì)粒子不能被創(chuàng)造也不能被毀滅，也就是比起光子多了一條守恒律可以用，這里介紹量子力學(xué)一般就默認(rèn)非相對(duì)論量子力學(xué)了，對(duì)物質(zhì)粒子可以被毀滅（比如用一個(gè)Positron碰撞一個(gè)電子，電子被消滅并放出光子）之類的情況感興趣的同學(xué)可以去看相對(duì)論量子力學(xué)。

總結(jié)

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