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物理光学1 波动方程与基础波函数

發布時間：2025/4/14 编程问答 34 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了物理光学1 波动方程与基础波函数小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

物理光學1 波動方程與基礎波函數

- 波動方程與基礎波函數
- 基礎波函數的復數表示

光是一種電磁波，所以在介紹物理光學前我們先回顧一下電磁波的內容。波的物理含義是場的空間分布隨時間變化的現象，因此電磁波也就是電磁場在空間中的分布隨著時間變化的物理現象。通常用 $ψ(x,t)\psi(\textbf x,t)$ 表示波函數，其中 $x\textbf x$ 表示空間坐標， $t$ 表示時間， $ψ\psi$ 表示某個場。

波動方程與基礎波函數

如果 $ψ(x,0)=f(x)\psi(\textbf x,0)=f(\textbf x)$ ，場的傳播速度為 $v\textbf v$ （常向量），則經過 $t$ 的時間后，位于 $x\textbf x$ 處的場已經變成了 $f(x?vt)f(\textbf x-\textbf v t)$ ，也就是
$ψ(x,t)=f(x?vt)\psi(\textbf x,t)=f(\textbf x - \textbf v t)$

不難發現滿足這個式子的波函數也滿足
$(Δ?1∣v∣2?2?t2)ψ=0\left( \Delta -\frac{1}{|\textbf v|^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\psi=0$

稱這個方程為波動方程， $∣v∣|\textbf v|$ 為波速，其中 $Δ\Delta$ 是Laplace算子，
$Δ=?2?x2+?2?y2+?2?z2\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

因此稱 $f(x±vt)f(\textbf x \pm \textbf v t)$ 為波動方程的通解。下面的波動函數被稱為基本波動函數(fundamental wave function)是
$ψ(x,t)=Acos?(k?x?wt)\psi(\textbf x,t)=A\cos (\textbf k \cdot \textbf x-wt)$

其中 $A$ 是幅度(amplitude)， $k\textbf k$ 被稱為波向量(wave vector)，它的長度 $∣k∣|\textbf k|$ 被稱為波數(wave number)，方向就是波的傳播方向， $w$ 是角頻率(angular frequency)， $k?x?wt\textbf k \cdot \textbf x-wt$ 被稱為相位(phase)，波速(wave velocity)滿足 $∣v∣=w/∣k∣|\textbf v|=w/|\textbf k|$ 。之所以稱這個波函數為基礎波函數是因為它是Fourier級數的基本項，任何函數的Fourier展開都可以用相應的Fourier基本項表示，因此這種形式的波函數被稱為基礎波函數。

下面簡單介紹一下 $k\textbf k$ 與 $w$ 的物理含義?；A波函數是一個余弦函數，余弦函數的周期是 $2π2\pi$ ，先暫時用 $λ,T\lambda,T$ 來表示基礎波函數的空間周期(spatial period)與時間周期(time period)，為簡化討論，我們只關注波在 $z$ 方向的傳播：
$ψ(z,t)=Acos?(kzz?wt)\psi(z,t)=A\cos(k_zz-wt)$

則空間周期與時間周期使得
$ψ(z+S,t)=ψ(z,t)ψ(z,t+T)=ψ(z,t)\psi(z+S,t)=\psi(z,t) \\ \psi(z,t+T)=\psi(z,t)$

顯然第一個方程說明 $λ\lambda$ 是波長，第二個方程說明 $T$ 是周期；將余弦波函數的形式代入以上兩個方程可以得到
$kz=2πλ,w=2πTk_z = \frac{2\pi}{\lambda}, w = \frac{2\pi}{T}$

其中 $w$ 的含義很容易得到，它的單位是 $r a d / s$ 或者 $1 / s = H z$ ，代表相位的角速度或者說角頻率； $k_z$ 的單位是 $r a d / m$ ，也就是在單位空間內，相位轉過的角度（以 $2π2\pi$ 為一段完整的波， $k\textbf k$ 的大小正好可以表示單位空間內，完整的波的數目，因此 $∣k∣|\textbf k|$ 被稱為波數）。因此
$∣v∣=w∣k∣=λT=λν|\textbf v| = \frac{w}{|\textbf k|} = \frac{\lambda}{T}=\lambda \nu$

也就是波速等于波長除以周期或者波長乘以頻率，這個就是我們非常熟悉的波動關系式了。

然后我們再討論一下相位，記 $?=k?x?wt\phi=\textbf k \cdot \textbf x-wt$ ，顯然
$\phi = \textbf k \cdot d \textbf x - w dt$

在波的某一個相位上觀察這個時空，時空的變換滿足，
$d?=k?dx?wdt=0dx?k^dt=w∣k∣=∣v∣d \phi =\textbf k \cdot d \textbf x - wdt = 0 \\ \frac{d \textbf x \cdot \hat k}{dt}=\frac{w}{|\textbf k|}=|\textbf v|$

其中 $k^\hat k$ 表示 $k\textbf k$ 的單位向量， $dx?k^dt\frac{d \textbf x \cdot \hat k}{dt}$ 表示相位不變時場的空間分布沿波的傳播方向的變化速度，它就是上文中我們對波速的定義，因此從這個推導來看，波速更準確的含義是波前的傳播速度（propagating velocity of wavefront）。這里再補充一下波前(wavefront)的概念，波前表示空間中同一時間下具有相同相位的那些點的集合。假設 $?1=?2\phi_1=\phi_2$ ，即 $k?x1?wt=k?x2?wtk?(x1?x2)=0\textbf k \cdot \textbf x_1 - wt = \textbf k \cdot \textbf x_2 - wt \\ \textbf k \cdot (\textbf x_1 - \textbf x_2) = 0$

也就是說波前中連接任意兩點的向量與波向量正交，因此波前就是 $k\textbf k$ 的法平面，稱這樣的波為平面波(plane wave)。

基礎波函數的復數表示

回顧歐拉公式
$eiθ=cos?θ+isin?θe^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

于是余弦形式的基礎波函數可以用復指數的實部表示，這樣做的好處是避免了要經常查三角函數的公式（我覺得大概可能是這樣吧，和差化積積化和差倍角半角什么的我確實現在已經記不住了。。。）

于是
$ψ(x,t)=Acos?(k?x?wt)=Re[Aei(k?x?wt)]\psi(\textbf x,t)=A\cos (\textbf k \cdot \textbf x-wt) \\ =Re[Ae^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}]$

在運算時可以直接用復指數運算，需要波函數的形式的時候取運算結果的實部即可。因此我們直接用
$ψ(x,t)=Aei(k?x?wt)\psi(\textbf x,t)=Ae^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}$ 作為基礎波函數的復數表示。但是需要注意
$\ne Re[a]Re[b]$

比如
$a=Acos?(wt+α),b=Bcos?(wt+β)a=A\cos(wt+\alpha),b=B\cos (wt+\beta)$

則用積化和差公式
$\frac{1}{2}AB[\cos(2wt+\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$

但如果用復數計算
$Re[Ae^{i(wt+\alpha)}Be^{i(wt+\beta)}]=AB\cos(2wt+\alpha+\beta)$

這就與真實結果不相等了。不過幸好在光學中，特別是在研究可見光的時候，因為可見光的周期非常小，遠小于測量儀器的周期( $τ\tau$ ，且 $T<<τT<<\tau$ )，因此我們觀測到的光信號實際上是光波在儀器的一個測量周期內的平均值
$?ab?=1τ∫0τabdt=12ABcos?(α+β)=Re[12AeiαBe?iβ]=12Re[ab?]\langle ab \rangle = \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}ab dt = \frac{1}{2}AB \cos(\alpha+\beta) \\ = Re[\frac{1}{2}Ae^{i\alpha}Be^{-i\beta}]=\frac{1}{2}Re[ab^*]$

其中 $b^*$ 代表 $b$ 的共軛(conjugate)，因此在波函數的運算中，復數表示下的乘法用 $12Re[ab?]\frac{1}{2}Re[ab^*]$ 來做。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的物理光学1 波动方程与基础波函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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