UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射10 簡單輻射問題 一根通電電線的輻射

假設$z$軸上放了一根電線，觀察者位移的單位向量為$\hat{r}$，用$\text{I}$表示電線中的電流，$\theta$表示從$\hat{z}$到$\hat{r}$的夾角，則觀察者觀測到的電場為
$$\begin{gathered} {\text{E}}_w=ik{\text{A}}_w^{\perp } \\ {\text{A}}_w^{\perp }=\frac{e^{ikr}}{r}\int {\text{J}}_w^{\perp }{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime } \end{gathered}$$

在這個問題中，
$${\text{J}}_w^{\perp }{d}^3{\text{x}}^{\prime }={\text{I}}_w^{\perp }(z^{\prime })d{z}^{\prime }$$

其中${\text{I}}_w^{\perp }$的方向為$?\hat{\theta }$，大小為$|{\text{I}}_w|\sin \theta$，所以
$${\text{I}}_w^{\perp }(z^{\prime })d{z}^{\prime }=?\hat{\theta }|{\text{I}}_w|\sin \theta d{r}^{\prime }$$

于是電場為
$${\text{E}}_w=?ik\frac{e^{ikr}}{cr}\sin \theta \int I_w(z^{\prime })e^{?ik{z}^{\prime }\cos \theta }d{z}^{\prime }\hat{\theta }$$

另外
$$\text{B}=\hat{r}\times {\text{E}}_w=?|{\text{E}}_w|(\hat{r}\times \hat{\theta })$$

現在我們再引入一些關于電流的假設，比如
$$I_w(z^{\prime })=I_0,?L\le z^{\prime }\le L$$

則
$${\text{E}}_w=?\frac{ik{I}_0{e}^{ikr}\sin \theta }{cr}\frac{2}{k\cos \theta }\sin (kL\cos \theta )\hat{\theta }$$

Poynting矢量的長度為
$$|\text{S}|=\frac{k^2}{8\pi c{r}^2}{\sin }^2\theta I_0^2\frac{4}{k^2{\cos }^2\theta }{\sin }^2(kL\cos \theta )$$

輻射的波長為$\lambda =2\pi /k,k=w/c$，如果$L=m\lambda$，則
$$|\text{S}|\propto {\sin }^2(2\pi m\cos \theta )$$

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總結

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