UA MATH567 高維統計II 隨機向量8 圖的Max-cut問題 0.5近似算法

前兩講討論了隨機向量的概率不等式的一個應用：半正定規劃近似求解整數規劃，這一講我們討論它的另一個應用——圖的max-cut問題。

問題描述

考慮圖$G=(V,E)$，max-cut的問題是如何畫一條曲線，使得與曲線相交的邊數最多，記此時的邊數為$MAX?CUT(G)$，現在我們的目標是設計一個算法，輸入圖$G$，輸出$MAX?CUT(G)$。

我們嘗試給出一個正式的定義：
$$\begin{gathered} MAX?CUT(G) \\ =\underset{V=V_1?V_2}{\max }\{|E_{12}|:(v1,v2)\in E_{12}?E,v_1\in V_1,v_2\in V_2\} \end{gathered}$$

也就是說把圖的頂點分割為兩類，計算連接不同類頂點的邊數，目標是找一種分類方法使得這樣的邊數最大。

用整數規劃建模

接下來我們可以試著建個模，用$A$表示$n$階無向圖$G=(V,E)$的伴隨矩陣，
$$A_{ij}=\{\begin{array}{l}1,(v_i,v_j)\in E\\ 0,(v_i,v_j)\in /E\end{array}$$

用$x=(x_1,?,x_n)\in \{?1,1{\}}^n$表示頂點的分類，等于1的是一類，等于-1的是另一類，則給定$x$作為一個分割，我們可以計算出它"切開"的邊數為
$$CUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum _{x_i{x}_j=?1}{A}_{ij}$$

首先這個是一個無向圖，所以$A_{ij}$對稱，我們需要除以1/2；其次我們要計算的是$E$中連接不同類頂點的邊數，我們用$x_i=1,?1$表示頂點$i$的類別，那么頂點$i,j$不同類說明$x_i{x}_j=?1$。

因為$x_i{x}_j=?1or1$，于是我們可以用$1?x_i{x}_j$代替求和中的約束$x_i{x}_j=?1$，只是這樣的話在$x_i{x}_j=?1$的時候結果就等于2了，所以我們額外再除以2，因此
$$\begin{gathered} CUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum _{x_i{x}_j=?1}{A}_{ij}=\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}(1?x_i{x}_j) \\ =\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}?\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}{x}_i{x}_j \end{gathered}$$

第一項是常數，于是
$$MAX?CUT(G)=\underset{x}{\max }CUT(G,x)?\underset{x\in \{?1,1{\}}^n}{\min }{x}^{T}Ax$$

這樣我們就把圖的Max-cut問題用整數規劃表示出來了，遺憾的是這個問題是NP問題，我們需要設計一些算法來做優化。但作為高維統計理論的一個應用，我們對設計算法并不感興趣，我們想做的是找到$MAX?CUT(G)$的上界和下界，從而為算法的效率與誤差分析提供一點幫助。

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我們先把這個問題隨機化，假設$x～Unif(\{?1,1{\}}^n)$，則
$$ECUT(G,x)=\frac{1}{2}|E|\ge \frac{1}{2}MAX?CUT(G)$$

說明
$$\begin{gathered} ECUT(G,x)=E\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}(1?x_i{x}_j)=\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}(1?E{x}_i{x}_j) \\ =\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}(1?E{x}_{i}E{x}_j)=\frac{1}{4}\sum _{i,j}{A}_{ij}=\frac{1}{2}|E| \end{gathered}$$

也就是說我們按均勻分布的思路隨機對每個頂點分類，這樣得到的分割平均可以“切開”一半的邊，稱這個結果為0.5-approximation algorithm。另外，$MAX?CUT(G)\le |E|$是肯定的，“切開”的邊數目一定小于總的邊數。這個結果還可以提供的信息是我們就是用拋硬幣的方式隨便亂切，平均都有一半的邊被切到，因此$MAX?CUT(G)$肯定是不小于一半的邊數的。

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總結

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