UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中心極限定理12 強(qiáng)大數(shù)定律 版本2：Etemadi定理

這一講我們介紹強(qiáng)大數(shù)定律(Strong law of large number, SLLN)的另一個(gè)版本：

強(qiáng)大數(shù)定律 假設(shè)$X_1,?,X_n,n\ge 1$是兩兩獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

說明
幾乎必然收斂強(qiáng)于均方收斂，所以稱這個(gè)結(jié)果為強(qiáng)大數(shù)定律、而均方收斂的結(jié)果為弱大數(shù)定律。目前最好的證明由Etemadi (1981)給出，在此之前被普遍接受的版本是概率論祖師爺Kolmogorov提供的，Kolmogorov版本的條件是$X_1,?,X_n,n\ge 1$是iid的隨機(jī)變量，且$E|X_1|<\infty$。

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證明思路

第一步，
對(duì)一般隨機(jī)變量，我們可以做類似一般可測(cè)函數(shù)的正部與負(fù)部分解：
$$X=X^{+}?X^{?}$$

其中$X^{+}=\max (X,0),X^{?}=\max (?X,0)$。

我們驗(yàn)證一下$\{X_n^{+}\}$也滿足定理的條件：

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$X_n,X_m$獨(dú)立，因此$X_n^{+},X_m^{+}$作為它們的函數(shù)也獨(dú)立；

$E|X_n|=E{X}_n^{+}+E{X}_n^{?}<\infty ?E{X}_n^{+}<\infty$

這說明正部滿足定理?xiàng)l件。也就是說如果非負(fù)隨機(jī)變量滿足SLLN，那么
$$\bar{X}=S_n/n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^{+}?\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^{?}{\to }_{a.s.}E{X}_1^{+}?E{X}_1^{?}=E{X}_1$$

于是我們可以利用與構(gòu)造Lebesgue積分類似的思路，把一般隨機(jī)變量簡(jiǎn)化為非負(fù)隨機(jī)變量進(jìn)行討論。

第二步，
現(xiàn)在我們假設(shè)$X_n$都是非負(fù)隨機(jī)變量，使用Truncation trick(截?cái)喾?#xff0c;這是分析、概率論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域很常用的技巧，把討論的對(duì)象分為有界、無界的兩部分分別討論)：
$$Y_n=X_n{1}_{X_n\le n}=\{\begin{array}{l}{X}_n,if{X}_n\le n\\ 0,otherwise\end{array}$$

計(jì)算
$$\sum _{n}P(X_n=Y_n)=\sum _{n}P(X_n>n)=\sum _{n}P(X_1>n)<\infty$$

最后這個(gè)不等式用的是Borel-Cantelli引理的引理1：$E|X|<\infty$，的充要條件是$??>0$，
$$\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)<\infty$$

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$E|X_1|<\infty$，于是${\sum }_{n}P(X_1>n)<\infty$，根據(jù)Borel-Cantelli引理1，
$$P(X_n=Y_{n}i.o.)=0$$

定義$T_n=Y_1+?+Y_n$，$P(X_n=Y_{n}i.o.)=0$說明$P(X_n=Y_{n}e.v.)=1$，所以依概率1我們有
$$\underset{n}{\lim }{T}_n/n=\underset{n}{\lim }{S}_n/n$$

這個(gè)結(jié)果說明我們不但可以把問題從一般隨機(jī)變量簡(jiǎn)化為非負(fù)隨機(jī)變量，還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為有界的非負(fù)隨機(jī)變量。

第三步，

Claim：
$??>0$，$\alpha >1$，$k(n)=?{\alpha }^n?,?n$，
$$\sum _{n\ge 1}P(\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}>?)<\infty$$

如果這個(gè)結(jié)果成立，根據(jù)Borel-Cantelli引理1，
$$P(\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}>?i.o.)=0$$

于是
$$\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}{\to }_{a.s.}0$$

基于這個(gè)結(jié)果我們可以說明定理對(duì)有界非負(fù)隨機(jī)變量成立，這就是證明SLLN的完整的三個(gè)步驟。

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下面貼一個(gè)Durrett整理的證明：

總結(jié)

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