UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步5 鞅的定義

從這一講開始，我們正式引入鞅(martingale)。稱$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅，如果

$?n$，$X_n$絕對可積

$\{X_n\}$ adapted to $\{{\mathcal{F}}_n\}$

$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=X_n$

如果第三條改為$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]\ge X_n$就是sub-martingale；如果第三條改為$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]\le X_n$就是super-martingale。驗證一個隨機變量序列是鞅需要驗證上面這三條性質。

評注
假設$\{X_n\}$是一列定義在$(\Omega ,\mathcal{B},P)$上的像空間為$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$的隨機變量，${\mathcal{F}}_n$被稱為Natural Filtration，定義為
$${\mathcal{F}}_n=\sigma (\{X_t^{?1}(B):B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),t\le n\})$$

顯然${\mathcal{F}}_n$是一個遞增的$\sigma$-代數序列。如果對任意$n$，$X_n$是${\mathcal{F}}_n$可測的，就稱$\{X_n\}$ adapted to $\{{\mathcal{F}}_n\}$，在Natural Filtration下，這個結論自然成立。一種對Filtration更一般的定義是Filtration是一個遞增的$\sigma$-代數序列。

鞅的定義中的第三條還有下面兩種等價的敘述：

• 如果$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$既是sub-martingale，也是super-martingale，那么$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅；
• $E[X_n|{\mathcal{F}}_m]=X_m,?m\le n$

第一種敘述是等價性敘述是很明顯，我們驗證一下第二種敘述也是等價性敘述。必要性顯然成立，下面說明充分性，
$$\begin{gathered} E[X_n|{\mathcal{F}}_m]=E[E[X_n|{\mathcal{F}}_{n?1}]|{\mathcal{F}}_m]=E[X_{n?1}|{\mathcal{F}}_m] \\ =E[E[X_{n?1}|{\mathcal{F}}_{n?2}]|{\mathcal{F}}_m]=E[X_{n?2}|{\mathcal{F}}_m]=E[X_{m+1}|{\mathcal{F}}_m]=X_m \end{gathered}$$

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例1 驗證一個簡單隨機游走是鞅
$\{{\xi }_i\}$是一個iid隨機變量序列，$P({\xi }_i=1)=\psi ,P({\xi }_i=?1)=1?\psi$, $\psi \in (0,1)$，記$X_n={\sum }_{i=1}^n{\xi }_i$，定義Filtration為
$${\mathcal{F}}_n=\sigma (\{X_k:k\le n\})=\sigma (\{{\xi }_i:i\le n\})$$

則$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅等價于$\psi =1/2$，$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是sub-martingale等價于$\psi \ge 1/2$。

證明
i) 說明$X_n$絕對可積，
$$|X_n|=|\sum _{i=1}^n{\xi }_i|\le \sum _{i=1}^n|{\xi }_i|=n$$

因此$E|X_n|\le n$。

ii) 顯然$?B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$，$X_n^{?1}(B)\in \sigma (\{X_k:k\le n\})$，$X_n$ adapted to ${\mathcal{F}}_n$。

iii) 計算
$$\begin{gathered} E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=E[{\xi }_{n+1}+X_n|{\mathcal{F}}_n]=E[{\xi }_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]+X_n \\ =E[{\xi }_{n+1}]+X_n=2\psi ?1+X_n?\begin{array}{l}\le X_n,\psi \le 1/2\\ =X_n,\psi =1/2\\ \ge X_n,\psi \ge 1/2\end{array} \end{gathered}$$

所以$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅等價于$\psi =1/2$，$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是sub-martingale等價于$\psi \ge 1/2$，$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是super-martingale等價于$\psi \le 1/2$。

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例2 用條件期望構造鞅
假設$\{{\mathcal{F}}_n\}$是一列Filtration，假設$X$ adapted to $\{{\mathcal{F}}_n\}$，則$(E[X|{\mathcal{F}}_n],{\mathcal{F}}_n)$是鞅。

證明
i) 說明$X_n?E[X|{\mathcal{F}}_n]$可積，條件期望可積這個結論我們在上一講證過。

ii) 根據條件期望的定義，$E[X|{\mathcal{F}}_n]\in {\mathcal{F}}_n$

iii) 根據Tower Property計算
$$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=E[E[X|{\mathcal{F}}_{n+1}]|{\mathcal{F}}_n]=E[X|{\mathcal{F}}_n]=X_n$$

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總結

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