UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步4 Radon-Nikodym定理，條件期望的存在唯一性

延續上一講對條件期望性質的討論。

性質八：存在唯一性、絕對可積性
$E[X|\mathcal{F}]$存在且$a.s.$唯一以及${\int }_{\Omega }|E[X|\mathcal{F}]|dP<\infty$。這是第一講條件期望的定義評注中第二條與第三條，這兩條性質保證條件期望的定義是嚴謹的。

證明
記$Y=E[X|\mathcal{F}]$，先說明絕對可積性，記$A=Y^{?1}((0,+\infty ))$，顯然$A\in \mathcal{F}$
$$\begin{gathered} {\int }_{A}YdP={\int }_{A}XdP\le {\int }_A|X|dP \\ {\int }_{A^C}?YdP={\int }_{A^C}?XdP\le {\int }_{A^C}|X|dP \end{gathered}$$

因此
$$\begin{gathered} {\int }_{\Omega }|Y|dP={\int }_{A}YdP+{\int }_{A^C}?YdP \\ \le {\int }_A|X|dP+{\int }_{A^C}|X|dP={\int }_{\Omega }|X|dP<\infty \end{gathered}$$

因此，如果$X$絕對可積，那么它的條件期望也是絕對可積的。

下面我們討論唯一性。如果$Y,Y^{\prime }$都是$X$關于$\mathcal{F}$的條件期望，則$?A\in \mathcal{F}$，
$${\int }_{A}YdP={\int }_A{Y}^{\prime }dP={\int }_{A}XdP$$

取$A=\{w:(Y?Y^{\prime })(w)\ge ?\}$,$??>0$，則
$$0={\int }_A(Y?Y^{\prime })dP\ge ?P(A)\ge 0$$

因此$P(A)=0$，說明$Y\ge Y^{\prime },a.s.$，同樣地，取$A=\{w:(Y^{\prime }?Y)(w)\ge ?\}$,$??>0$，用相同的分析方法，可以得到$Y\le Y^{\prime },a.s.$，因此$Y=Y^{\prime },a.s.$。

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在證明存在性之前，我們需要引入一個新的分析工具——Radon-Nikodym定理。

定義 測度的絕對連續
假設$\mu ,\nu$是定義在$(\Omega ,\mathcal{B})$上的兩個測度，稱$\nu$關于$\mu$絕對連續（$\nu <<\mu$）如果
$$\mu (A)=0?\nu (A)=0,?A\in \mathcal{B}$$

Radon-Nikodym定理
假設$\mu ,\nu$是$(\Omega ,\mathcal{B})$上的兩個$\sigma$-有限測度，$\nu <<\mu$，則存在$\mathcal{B}$-可測的函數$f:\Omega \to \mathbb{R}$，使得
$${\int }_{A}fd\mu =\nu (A),?A\in \mathcal{B}$$

稱$f$為測度$\nu$關于測度$\mu$的Radon-Nikodym導數，記為
$$f=\frac{d\nu }{d\mu }$$

讀者可以在任何一本實分析或測度論的書上找到這個定理的證明。接下來我們要用這個定理證明條件期望的唯一性。

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我們先構造滿足Radon-Nikodym定理d的測度$\mu$和$\nu$，回顧一下我們的問題，在概率空間$(\Omega ,\mathcal{B},P)$上定義有一個映射到$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$的隨機變量$X$，$X\ge 0,EX<\infty$，$\mathcal{F}$是$\mathcal{B}$的子$\sigma$-代數，我們要證明$X$關于$\mathcal{F}$的條件期望存在。

定義$\mu =P{|}_{\mathcal{F}}$，定義$\nu$滿足
$$\nu (A)={\int }_{A}XdP,?A\in \mathcal{F}$$

如果$\mu (A)=0$，則
$$\nu (A)={\int }_{A}Xd\mu \le (\underset{A}{\max }X)\mu (A)=0$$

所以$\nu <<\mu$。根據Radon-Nikodym定理，存在$f:\Omega \to \mathbb{R}$，使得
$$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu ={\int }_{A}fdP={\int }_{A}XdP,?A\in \mathcal{F}$$

這說明Radon-Nikodym導數$f$就是一個條件期望。

注 這個存在性的證明是對取值為正的隨機變量進行的，對于取值為負的隨機變量，可以用$?X$進行上述分析，對于一般的隨機變量，可以用$X^{+}?X^{?}$進行上述分析，也就是說建立條件期望的路徑與建立Lebesgue積分的路徑是一致的。

評注
根據性質八的證明，我們可以發現條件期望存在唯一且可以表示成兩個測度的R-N導數，即
$$E[X|\mathcal{F}]=\frac{d\nu }{dP{|}_{\mathcal{F}}}$$

其中$\nu (A)={\int }_{A}XdP,?A\in \mathcal{F}$，也可以表示為$\nu (A)=E[X{1}_A]$。這給為復雜的隨機變量或在復雜的概率空間上構造條件期望提供了一種分析方法，這種方法在measure level的統計決策理論中是比較常用的。

總結

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