UA MATH523A 實分析1 集合論基礎2 序關系與Zorn引理

• 偏序與全序
• 關于最大元的幾個結論
• • 選擇公理
  • Hausdorff Maximal Principle與Zorn引理
  • 良序原則

這一講的目標是把最大、更大這些概念進行推廣。早期數(shù)學教學專注實數(shù)域、而實數(shù)域的元素大小關系非常直觀。現(xiàn)在我們要試圖把這種直觀的大小關系推廣到一般性的集合，也就是定義集合元素之間的序關系，并且基于序關系定義最大、最小值的概念。

偏序與全序

假設$X$是一個非空集合、$R$是一個二元關系，如果$?x,y\in X$

$xRx$，$?x\in X$

$xRy,yRx?x=y$

$xRy,yRz?xRz$

則稱$R$是$X$上的一個偏序（Partial Ordering），記為$\le$，稱$X$為偏序集，記為$(X,\le )$或簡寫為$X$。如果$x\le y,y\le x$中必有一個成立，則稱$R$為全序（total ordering or linearly ordering）。稱兩個偏序集序同構（order isomorphic）如果$?f:X\to Y$ 1-1 and onto such that $x_1\le x_2$ iff $f(x_1)\le f(x_2)$。

基于序關系還可以定義最大元、最小元：

最大元：$?M\in X,?x\in X,x\le M$

最小元：$?m\in X,?x\in X,m\le x$

如果$(X,\le )$的每個非空子集都存在最小元，就稱$(X,\le )$是良序集（well-ordered set），稱$\le$是良序（well ordering）。

關于最大元的幾個結論

Axiom of Choice（by Zermelo 1904）：一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合
Zorn’s Lemma：如果偏序集的所有全序子集都有一個上界，那么這個偏序集有最大元
Hausdorff Maximal Principle：每個偏序集都有一個最大的全序子集
Well Ordering Principle (by Cantor 1883)：任意非空集合上都可以定義一個良序使之成為良序集

這四個結論是等價的，下面我們從選擇公理開始逐個介紹這幾個結論。

選擇公理

選擇公理是Zermelo于1904年提出的，目的是證明Cantor于1883年提出的良序原則（Well Ordering Principle），Zermelo證明了良序原則與選擇公理是等價的。選擇公理有一些等價敘述，“一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合”只是其中一種，另外比如“對任何集族$\mathcal{F}$，都存在函數(shù)$f$使得$?S\in \mathcal{F},S=?$,$f(S)\in S$”等。選擇公理經(jīng)過Sierpinski與Godel等人近三十年的努力后逐漸被數(shù)學家們采納并廣泛應用于各個分支領域，此后越來越多的命題被證明是和選擇公理等價的。

但對于選擇公理的質(zhì)疑也是沒有停止的，比如著名的Banach-Tarski定理（1924年），這個定理講的故事是把一個球面分成有限塊，然后通過平移旋轉拼出兩個球，這兩個球都和原來的球一模一樣。因為這個是基于選擇公理和Hausdorff（1914）的結論證明出來的，所以這是一個定理，但它非常反直覺。1

分析和代數(shù)使用選擇公理幾乎就是從選擇公理開始后的幾年開始的，因為做分析和代數(shù)的數(shù)學家雖然沒有明說，但他們早就在一些構造性證明中使用了與選擇公理類似的陳述。所以實分析認可選擇公理。

Hausdorff Maximal Principle與Zorn引理

Hausdorff Maximal Principle說的是每個偏序集都有一個最大的全序子集，考慮偏序集$(X,\le )$，則$?E?X$，$(E,\le )$是全序集，并且$E$包含$X$其他所有全序子集。按Zorn引理的敘述，偏序集的所有全序子集都有一個上界，則$(E,\le )$存在一個上界，記這個上界為$M$，則$M$是$X$的最大元（如果$M$不是最大元，可以把$M$納入$E$中，定義$E^{\prime }=E\cup \{M\}$，驗證$E^{\prime }$為全序集，則$E^{\prime }?E$，這與$E$是最大的全序子集矛盾）。

當然Zorn引理也可以導出Hausdorff Maximal Principle，記$\mathcal{C}$是$(X,\le )$所有全序子集的集族，則$(\mathcal{C},?)$是一個偏序集，對這個偏序集應用Zorn引理，顯然它存在一個最大元，這個最大元就是$(X,\le )$最大的全序子集。

良序原則

使用Zorn引理可以證明良序原則。我們需要引入一個工具：良序集的擴張。假設$(A,\le )$是一個良序集，$A?B$，定義二元關系${\le }_B$使得：

$(A,\le )$與$(A,{\le }_B)$等價；

$?x\in B?A$，$y{\le }_{B}x,?y\in A$

則$(B,{\le }_B)$也是一個良序集，稱之為良序集$(A,\le )$的擴張。

我們再定義一個良序之間的序關系，用$R$表示，因為$(B,{\le }_B)$是$(A,\le )$的擴張，這種序關系記為$(A,\le )R(B,{\le }_B)$。用$\mathcal{C}$表示偏序集$(X,\le )$所有良序子集的集族，則$(\mathcal{C},R)$是偏序集，根據(jù)Zorn引理，它存在一個最大元，接下來我們可以把最大元擴展到$X$上，使$X$被良序化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析1 集合论基础2 序关系与Zorn引理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。