UA MATH563 概率論的數學基礎1 概率空間3 概率測度

• 測度與概率
• 概率的連續性

對于概率空間$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，$\Omega$是非空集合，表示狀態空間；$\mathcal{F}$是事件空間，也是狀態空間的一個$\sigma$-代數；$P$是概率測度。我們已經嚴格定義了前兩個要素，這一講我們介紹概率測度。

測度與概率

測度$P$是一個自變量為集合的函數，它把集合映射成一個數值。對于可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，如果$P:\mathcal{F}\to {\mathbb{R}}^{+}$是一個測度，則

$P(?)=0$

$?A\in \mathcal{F},P(A)\ge 0$

$?A_i\in \mathcal{F},i=1,?,n$, $P({?}_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$

如果$?A_n\in \mathcal{F},n=1,2,?$，$P({?}_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)$，稱$P$具有可列可加性，或稱$P$為$\sigma$-可加測度。

如果$P(\Omega )<\infty$，稱$P$為有限測度；如果$?A_n,n=1,2,?$，$\Omega ={\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n$，且$P(A_n)<\infty ,?n$，則稱$P$為$\sigma$-有限測度。顯然有限測度一定是$\sigma$-有限測度，反之不成立。

如果$P(\Omega )=1$，且$P$是$\sigma$-可加測度，稱$P$為概率測度，或簡稱概率。

概率的連續性

假設$P$是$\mathcal{F}$上的$\sigma$-可加函數，$P(\Omega )=1$，下面四個條件等價：

$P$是概率；

$P$上連續；

$P$下連續；

$P$在"0"上連續；

我們先介紹一下集函數的連續性，然后再證明它們的等價性。類比實變函數的連續性，$f(x)$在$x_0$處連續，等價于$?x_n\to x_0$，${\lim }_{n}f(x_n)\to f(x_0)=f({\lim }_n{x}_n)$。上連續意味著$?x_n\to x_0$應該改為$?x_n\uparrow x_0$；下連續就改為$?x_n\downarrow x_0$，也就是說半連續性會限制逼近的方向。

上連續 $?A_n\in \mathcal{F},n=1,2,?$，$A_n?A_{n+1}$，如果$P({?}_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，稱$P$是上連續的。這個定義中需要注意的是，因為$A_n?A_{n+1}$，所以${?}_{n=1}^{\infty }{A}_n={\lim }_n{A}_n$。

下連續 $?A_n\in \mathcal{F},n=1,2,?$，$A_n?A_{n+1}$，如果$P({?}_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，稱$P$是下連續的。

在0處連續 也就是在$?$處連續，$?A_n\in \mathcal{F},n=1,2,?$，$A_n?A_{n+1}$，${?}_{n=1}^{\infty }{A}_n=?$，如果$P({?}_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，稱$P$在$?$處連續。

證明
$1\to 2$，記$A_0=?$，直接計算
$$\begin{gathered} P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n)=P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}(A_n?A_{n?1}))=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n?A_{n?1}) \\ =\sum _{n=1}^{\infty }[P(A_n)?P(A_{n?1})]=P(A_{\infty })?P(A_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n) \end{gathered}$$
$2\to 3$，因為$A_n\downarrow$，所以$A_1?A_n\uparrow$，同時
$$\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_1?A_n=\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_1\cap A_n^C=A_1\cap \underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n^C=A_1\cap {\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n\right)}^C=A_1?\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n$$

根據2，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1?A_n)=P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}(A_1?A_n))$$

基于$A_n=A_1?(A_1?A_n)$，
$$\begin{gathered} P(A_n)=P(A_1)?P(A_1?A_n) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)=P(A_1)?\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1?A_n)=P(A_1)?P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}(A_1?A_n)) \\ =P(A_1)?P(A_1?\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n)=P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_n) \end{gathered}$$
$3\to 4$，非常顯然。

$4\to 1$，只需驗證$\sigma$可加性即可。考慮
$$\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i+\underset{i=n+1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i$$

注意到${?}_{i=n+1}^{\infty }{A}_i\downarrow ?$，根據4，${\lim }_{n\to \infty }P({?}_{i=n+1}^{\infty }{A}_i)=0$。根據有限可加性，
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

因此
$$P(\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$$

總結

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