UA MATH564 概率論 QE練習 Glivenko–Cantelli定理

• Glivenko–Cantelli定理

Part a
Notice $P(X_i\le t)=F(t),i=1,?,n$
$$E[{\hat{F}}_n(t)]=E\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}I(X_i\le t)\right]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left[I(X_i\le t)\right]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}P(X_i<t)=F(t)$$

Part b
$$\begin{gathered} P({\hat{F}}_n(t)=k/n)=P\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}I(X_i\le t)=q\right)=P\left(\sum _{i=1}^{n}I(X_i\le t)=k\right) \\ =C_n^k[F(t){]}^k[1?F(t){]}^{n?k},k=1,?,n \end{gathered}$$

This means $n{\hat{F}}_n(t)～Binom(n,F(t))$.

Part c
Calculate
$$\begin{gathered} E[{\hat{F}}_n(t)]=\frac{1}{n}E[n{\hat{F}}_n(t)]=F(t) \\ Var({\hat{F}}_n(t))=\frac{1}{n^2}Var(n{\hat{F}}_n(t))=\frac{F(t)[1?F(t)]}{n} \end{gathered}$$

By CLT,
$$\frac{{\hat{F}}_n(t)?F(t)}{\sqrt{\frac{F(t)[1?F(t)]}{n}}}{\to }_{d}N(0,1)?\sqrt{n}[{\hat{F}}_n(t)?F(t)]{\to }_{d}N(0,F(t)[1?F(t)])$$

Glivenko–Cantelli定理

Glivenko–Cantelli定理說的是當$n\to \infty$時，${\hat{F}}_n$收斂到$F$。上面的題目提到了，對于給定的$t$，${\hat{F}}_n(t)$會收斂到$F(t)$，因為
$$Var({\hat{F}}_n(t))=\frac{F(t)[1?F(t)]}{n}\to 0,asn\to \infty$$

因此${\hat{F}}_n(t)?F(t){\to }_{L_2}0$。一個從分析出發的證明會顯得更簡單，經驗分布的性質說明
$$|{\hat{F}}_n(x_j)?F(x_j)|\le \frac{1}{n},?j=1,?,n?1$$

下面估計
$$\sup |{\hat{F}}_n(x)?F(x)|\le \max |{\hat{F}}_n(x_j)?F(x_j)|+\frac{1}{n}$$

當$n\to \infty$時，$\max |{\hat{F}}_n(x_j)?F(x_j)|\to 0$，因此${\hat{F}}_n{\to }_{L_{\infty }}F$。

總結

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