UA MATH565C 隨機微分方程V Markov Family的特征函數

• 特征函數

上一講用$u(t,x)$和$v(t,x)$描述了Markov Family的函數$f({\xi }_t)$，與積分${\int }_0^{t}g({\xi }_s)ds$的期望，并給出了他們滿足的PDE。但PDE方法只能解決$f({\xi }_t)$與${\int }_0^{t}g({\xi }_s)ds$的期望，這一講試圖用特征函數來描述他們的分布。

特征函數

${\xi }_t$與${\int }_0^{t}g({\xi }_s)ds$的聯合特征函數是
$${\kappa }_t(z_1,z_2)=E_x[\exp (i{z}_1{\int }_0^{t}g({\xi }_s)ds)e^{i{z}_2{\xi }_t}]$$
完備性保證特征函數和分布是一一對應的。定義
$$c({\xi }_s)=i{z}_{1}g({\xi }_s),f({\xi }_t)=e^{i{z}_2{\xi }_t}$$
則特征函數可以簡寫成
$${\kappa }_t(z_1,z_2)=E_x[\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)f({\xi }_t)]$$
其中$c$是有界一致連續函數，$f\in D_A$，可以證明
$$\begin{gathered} \frac{?{\kappa }_t(z_1,z_2)}{?t}=A{\kappa }_t(z_1,z_2)+c(x){\kappa }_t(z_1,z_2) \\ {\kappa }_0(z_1,z_2)=f(x) \end{gathered}$$

證明（并不是完整證明，只是一些關鍵步驟）
定義算子
$${\tilde{P}}_{t}f(x)=E_x[f({\xi }_t)\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)]$$
這個算子的范數有上界
$$\Vert {\tilde{P}}_t\Vert =\sup \frac{|E_x[f({\xi }_t)\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)]|}{\sup f(x)}\le \sup E_x[\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds]\le e^{t\sup c(x)}$$
接下來驗證這個算子是一個算子半群，即驗證${\tilde{P}}^{t+s}={\tilde{P}}^t{\tilde{P}}^s$：
$$\begin{gathered} {\tilde{P}}^{t+s}f=E_x[f({\xi }_{t+s})\exp ({\int }_0^{t+s}c({\xi }_r)dr)] \\ =E_x[E_x[f({\xi }_{t+s})\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_r)dr+{\int }_t^{t+s}c({\xi }_r)dr)|{\mathcal{F}}_{\le t}]] \\ =E_x[\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_r)dr)E_x[{\theta }_t\exp ({\int }_0^{s}c({\xi }_r)dr)f({\xi }_s)|{\mathcal{F}}_{\le t}]] \end{gathered}$$
因為shift operator${\theta }_t$作用在filtration ${\mathcal{F}}_{\le t}$的條件下，所以它不會提供額外的信息，上面這個式子就是${\tilde{P}}^t{\tilde{P}}^{s}f$，但可以用Markov Property得到更簡化的式子：$$=E_x[\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_r)dr)f({\xi }_s)]$$

假設$\tilde{A}$是這個算子半群的infinitesimal generator，則
$$\begin{gathered} D_{\tilde{A}}=D_A \\ \tilde{A}f=Af+cf \end{gathered}$$
根據第二條就可以得出特征函數滿足的PDE，我們先證第二條：
$$\tilde{A}f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tilde{P}}^{t}f?f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tilde{P}}^{t}f?P^{t}f}{t}+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f?f}{t}$$
第二項就是$Af$，下面計算第一項：當$t\to 0$時，
$$\begin{gathered} {\tilde{P}}^{t}f?P^{t}f=E_x[f({\xi }_t)\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)]?E_x[f({\xi }_t)] \\ =E_x[f({\xi }_t)(\exp ({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)?1)]=E_x[f({\xi }_t)({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds+o({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds))] \end{gathered}$$
因為$c$是有界一致連續函數，$o({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds)=o(t\sup c)=o(t)$，所以
$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tilde{P}}^{t}f?P^{t}f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{E_x[f({\xi }_t)({\int }_0^{t}c({\xi }_s)ds+o(t))]}{t}=cf,unif.$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程V Markov Family的特征函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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