UA MATH565C 隨機微分方程V Stationary Measure

• Markov Property
• Stationary Measure
• • PDE方法

這一講試圖回答的問題是基于Homogeneous Markov Family及其對應的轉移函數$P(t,x,\Gamma )$，怎么構造它的平穩測度（可以類比馬爾科夫鏈，有了轉移概率矩陣要算平穩分布）。

Markov Property

假設${\xi }_t$是一個Markov Family，上一講提到shift operator的作用是
$$?w\in \Omega ,?h>0,?w_h^{+}\in \Omega ,?t\in \mathcal{T},{\xi }_t(w_h^{+})={\xi }_{t+h}(w)$$
記為${\theta }_h{\xi }_t(w)={\xi }_t(w_h^{+})$。注意$w_h^{+}$可以不具有唯一性。定義shift算子的逆為
$${\theta }_h^{?1}A=\{w:w_h^{+}\in A,A\in {\mathcal{F}}_T\}$$

現在回到Homogeneous Markov Family以及轉移概率$P(t,x,\Gamma )$，因為
$$P(s,x,t,\Gamma )=P(t?s,x,\Gamma )$$
因此$P_{s,x}[{\theta }_s^{?1}B]=P_{0,x}[B],?B\in {\mathcal{F}}_T$。也就是說通過shift operator可以用$P_x?P_{0,x}$表示$P(s,x,\Gamma )$：
$$P_x[{\xi }_{t+h}\in \Gamma |{\mathcal{F}}_{\le t}]=P(h,{\xi }_t,\Gamma )$$
吐個槽，個人覺得這樣寫只是符號上簡潔了一點。。。

Stationary Measure

之前定義了Markov Family關于函數與測度的算子$P^t$，這一講定義算子$?\nu ,f?$表示函數$f$在測度$\nu$上的積分，
$$?\nu ,f?={\int }_{\Omega }f(x)\nu (dx)$$
這個算子有一個有用的性質：
$$?\nu P^t,f?=?\nu ,P^{t}f?$$
其中
$$\begin{gathered} P^{t}f(x)={\int }_{\Omega }f(y)P(t,x,dy) \\ \nu P^t(\Gamma )={\int }_{\Gamma }\nu (dx)P(t,x,\Gamma ) \end{gathered}$$
上面那個性質其實本質就是Fubini定理。
$$\begin{gathered} ?\nu P^t,f?={\int }_{\Omega }f(x){\int }_{\Omega }\nu (dy)P(t,x,dy)={\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }P(t,x,dy)f(dy)\nu (dx) \\ ?\nu ,P^{t}f?={\int }_{\Omega }\nu (dx){\int }_{\Omega }P(t,x,dy)f(dy)={\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }P(t,x,dy)f(dy)\nu (dx) \end{gathered}$$
定義平穩測度為$\mu$：
$$\mu =\mu P^t,?t$$

之前討論了算子半群的infinitesimal generator $A$滿足$P^t=e^{tA},?P^t\in D_A$，它對函數與測度的作用分別是：
$$\begin{gathered} Af=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f?f}{t} \\ \nu A=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\nu P^t?\nu }{t} \end{gathered}$$
這個infinitesimal generator在$D_A$中的作用類似于微分算子，這里不加證明地給出一個結論：
$$\frac{d}{dt}{P}^{t}f=A{P}^{t}f$$
因此上面的平穩測度就會滿足：
$$\mu A=0$$
這個結論給我們的直覺是隨機過程的SDE可以化歸為其測度的PDE，通常可以表示成概率密度的PDE，例子可以參考我575B那個系列的的統計物理的隨機模擬方法1，因此從這個方程出發尋找平穩測度的思路是先論證這個測度有一個密度，然后把這個方程化歸為密度的PDE求解。

PDE方法

定義$u(t,x)=P^{t}f=E_x[f({\xi }_t)]$，則它是下面的PDE的唯一有界解。
$$\frac{?u(t,x)}{?t}=Au(t,x)$$

定義$v(t,x)=E_x[{\int }_0^{t}g({\xi }_s)ds]$，根據Fubini定理，這個定義等價于
$${\int }_0^t{E}_x[g({\xi }_s)]ds={\int }_0^t{P}^{s}gds$$
因此
$$\frac{?v(t,x)}{?t}=P^{t}g$$
這個PDE也可以用infinitesimal generator來表示：
$$\begin{gathered} Av(t,x)=A{\int }_0^t{P}^{s}gds={\int }_0^t\frac{d}{ds}{P}^{s}gds=(P^t?I)g \\ \frac{?v(t,x)}{?t}=Av(t,x)+g \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程V Stationary Measure的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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