文章目錄

• 解決步驟
• 解決時遇到的問題
• • 1 矩陣負定
  • 2 公式（1）如何轉(zhuǎn)化為（2）
  • 3 根據(jù)公式（2）構(gòu)建 LMI 程序

解決步驟

利用 LMI 工具箱解如下矩陣不等式：
$$PA+A^{\text{T}}P?PB{B}^{\text{T}}P+\beta P<0\text{\hspace{1em}(1)}$$

等價于如下矩陣形式：
$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{\text{T}}P+PA+\beta P& ?PB\\ B^{\text{T}}P& ?I\end{array}\right)<0\text{\hspace{1em}(2)}$$

之所以要轉(zhuǎn)換成上述矩陣（2），我猜測是因為沒有辦法構(gòu)建 $PB{B}^{\text{T}}P$ 這部分。

先給出代碼如下

clear clcA = [0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0]; B = [0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1]'; beta = 3;setlmis([]) P = lmivar(2, [6 6]);lmiterm([1 1 1 P], 1, A, 's') lmiterm([1 1 1 P], beta, 1) lmiterm([1 1 2 P], 1, -B) lmiterm([1 2 1 P], B', 1) lmiterm([1 2 2 0], -1)lmis1 = getlmis;% solve [tmin, xfeas] = feasp(lmis1); P = dec2mat(lmis1, xfeas, P)

結(jié)果為：

P =-0.6607 0 0 0.2202 0 00 -0.6607 0 0 0.2202 00 0 -0.6607 0 0 0.22020.2202 0 0 -0.8076 0 00 0.2202 0 0 -0.8076 00 0 0.2202 0 0 -0.8076

驗證一下特征值：

>> eig(P*A + A'*P - P*B*B'*P + beta*P)ans =-1.9822-2.6829-1.9822-2.6829-2.6829-1.9822

解決時遇到的問題

1 矩陣負定

在矩陣中小于號 $<$ 主要表示矩陣負定，矩陣負定可以通過判斷奇數(shù)階順序主子式小于零，和偶數(shù)階順序主子式大于零來判斷，這里附一張例題的圖。

更多矩陣負定可以參見百度百科的解釋。

2 公式（1）如何轉(zhuǎn)化為（2）

下面是關(guān)于公示（1）為什么能轉(zhuǎn)化為（2）的過程。

所求式子為：
$$PA+A^{\text{T}}P?PB{B}^{\text{T}}P+\beta P<0\text{\hspace{1em}(1)}$$

轉(zhuǎn)換為：
$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{\text{T}}P+PA+\beta P& ?PB\\ B^{\text{T}}P& ?I\end{array}\right)<0\text{\hspace{1em}(2)}$$

對（2）按照負定拆解一下：
$$(A^{\text{T}}P+PA+\beta P)(?I)?(?PB)(B^{\text{T}}P)>0$$

注意，這里應(yīng)該是 $>$ 零。

化簡一下公式：
$$\begin{array}{rl}(A^{\text{T}}P+PA+\beta P)(?I)?(?PB)(B^{\text{T}}P)& >0\\ (A^{\text{T}}P+PA+\beta P)+(?PB)(B^{\text{T}}P)& <0\\ A^{\text{T}}P+PA+\beta P?PB{B}^{\text{T}}P& <0\end{array}$$

即等價于公式（1）。

3 根據(jù)公式（2）構(gòu)建 LMI 程序

根據(jù)公式（2）構(gòu)建 LMI 程序時，不需要考慮負定的問題，程序會自動處理。

$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{\text{T}}P+PA+\beta P& ?PB\\ B^{\text{T}}P& ?I\end{array}\right)<0\text{\hspace{1em}(2)}$$

例如矩陣塊的第一部分，正確構(gòu)建代碼為：

lmiterm([1 1 1 P], 1, A, 's') lmiterm([1 1 1 P], beta, 1)

而不是下邊的$錯誤形式：$

lmiterm([-1 1 1 P], 1, A, 's') lmiterm([-1 1 1 P], beta, 1)

因為你構(gòu)建的是一個矩陣，也就是一個元素，而這個元素整體都在小于號的左邊，所以在 limterm([EquationNumber, 1, 1, P], A, B) 中的公式編號 EquationNumber 應(yīng)該用正數(shù)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Matlab】利用 LMI 解矩阵不等式方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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