無無無回到目錄下一章

第1章-矩陣的幾何理論

• • 1.1 線性空間上的線性算子與矩陣
  • • 1.1.1 線性空間
    • 1.1.2 線性算子及其矩陣
  • 1.2 內積空間上的等積變換
  • • 1.2.1 內積空間
    • • 1. 內積與歐幾里得空間
      • • 柯西-施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式：
        • 格拉姆矩陣：
      • 2. 酉空間介紹
    • 1.2.2 等積變換及其矩陣
  • 1.3 埃爾米特變換及其矩陣
  • • 1.3.1 對稱變換與埃爾米特變換
    • • • 定理1.3.2 （舒爾 (Schur) 定理）
    • 1.3.2 埃爾米特正定、半正定矩陣
    • 1.3.3 矩陣不等式
    • 1.3.4 埃爾米特矩陣特征值的性質
    • 1.3.5 一般的復正定矩陣

1.1 線性空間上的線性算子與矩陣

1.1.1 線性空間

1.1.2 線性算子及其矩陣

1.2 內積空間上的等積變換

1.2.1 內積空間

1. 內積與歐幾里得空間

柯西-施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式：

$$|(x,y)|\le |x||y|\text{\hspace{1em}(1.2.5)}$$

格拉姆矩陣：

$$A=\text{\hspace{1em}(1.2.11)}$$
度量矩陣，又叫做格拉姆 (Gram) 矩陣。

2. 酉空間介紹

歐氏空間是針對實線性空間而言的，即在實線性空間上定義內積運算便構成歐氏空間，而酉空間實際上就是一個特殊的復線性空間。

酉空間的理論與歐氏空間的理論很相近，有一套平行的理論。

為了避免復數平方為負一的麻煩，對于 $n$ 維復向量空間 ${\mathbb{C}}^n$ 的內積一開始就固定為 $(x,y)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\overline{y}}_i$，其中 ${\overline{y}}_i$ 是 $y_i$ 的共軛復數，那么 $(x,x)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\overline{x}}_i={\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^2$ 必然是非負的。

1.2.2 等積變換及其矩陣

1.3 埃爾米特變換及其矩陣

1.3.1 對稱變換與埃爾米特變換

定理1.3.2 （舒爾 (Schur) 定理）

任何 $n$ 階矩陣 $A$ 都酉相似于一個上三角陣，即存在一個 $n$ 階酉矩陣 $U$ 和一個上三角陣 $R$（書中此處寫的 $R$，但感覺寫錯了，應該是 $T$ 才對），使得
$$U^{H}AU=T或A=UT{U}^H$$

其中，$T$ 的主對角元是 $A$ 的特征值，他們可以按所要求的次序排列。

擴展：酉矩陣 (unitary matrix)
又稱為幺正矩陣。酉矩陣是實數上的正交矩陣，在復數的推廣。
酉矩陣是一個 $n\times n$ 復數方塊矩陣，滿足以下性質：$$U^{?}U=U{U}^{?}=I_n$$
其中，$U^{?}$ 是 $U$ 的共軛轉置，$I_n$ 是 $n\times n$ 單位矩陣。
換句話說，酉矩陣的逆矩陣就是其共軛轉置：$$U^{?1}=U^{?}$$
From: 酉矩陣-維基百科

擴展：共軛轉置 (Conjugate transpose)
又稱為埃爾米特共軛 (Hermitian transpose)。
$A^{?}$ 的定義為：
$$(A^{?}{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$$
或
$$A^{?}=(\overline{A}{)}^T=\overline{A^T}$$
其中， $A^T$ 是 $A$ 的轉置，$\overline{A}$ 表示對矩陣 $A$ 中的元素取復共軛。

實例：若 $$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2?2i& i\end{array}\right]$$
則 $$A^{?}=\left[\begin{array}{cc}3?i& 2+2i\\ 5& ?i\end{array}\right]$$
通常用以下記號表示矩陣 $A$ 的共軛轉置：

• $A^{?}$ 或 $A^H$，常用語線性代數
• $A^{?}$，普遍用于量子力學，而同時 $A^{?}$ 只表示為 $A$ 的復數共軛
• $A^{+}$ （但這一記號通常指矩陣的摩爾-彭若斯廣義逆 (Moore–Penrose pseudoinverse)）

注意：某些情況下 $A^{?}$ 也指僅對矩陣元素取復共軛，而不做矩陣轉置，切勿混淆。
From: 共軛轉置-維基百科

1.3.2 埃爾米特正定、半正定矩陣

1.3.3 矩陣不等式

1.3.4 埃爾米特矩陣特征值的性質

1.3.5 一般的復正定矩陣

無無無回到目錄下一章

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第1章-矩阵的几何理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。