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《Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真》程序指令總結(jié)

• Matlab_Simulink_BookExample
• 9. 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析
• • 9.2.4 狀態(tài)方程求解
  • • 9.2.4.2 矩陣指數(shù)的性質(zhì)及求法
    • 9.2.4.1 齊次方程求解
    • 9.2.4.3 非齊次方程求解
  • 9.1 Matlab 函數(shù)
  • 例題 9_2
  • 例題 9_3
  • 例題 9_4
  • 例題 9_5
  • 例題 9_6
  • 例題 9_7
  • 例題 9_8
  • 例題 9_9
  • 例題 9_10
  • 例題 9_11
  • 例題 9_12

書中詳細(xì)實(shí)例代碼可見：Github

更多關(guān)于基礎(chǔ)原理的講解：【控制】第九章-線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

Matlab_Simulink_BookExample

圖書：《Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真》

9. 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析

狀態(tài)空間描述具有以下特點(diǎn)：

狀態(tài)空間描述考慮到了“輸入-狀態(tài)-輸出”這一過程，考慮到了被經(jīng)典控制理論的“輸入-輸出”描述所忽略的狀態(tài)，因此它揭示了問題的本質(zhì)，即輸入引起狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。

輸入引起的狀態(tài)變化是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為向量微分方程，即狀態(tài)方程。狀態(tài)決定輸出是一個(gè)變換過程，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為變換方程，即代數(shù)方程。

系統(tǒng)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，一個(gè) $n$ 階系統(tǒng)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為 $n$。

對(duì)于給定的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不唯一，狀態(tài)變量的線性變換結(jié)果也可以作為狀態(tài)變量。

一般來說，狀態(tài)變量不一定是物理上可測(cè)量或可觀察的量，但從便于構(gòu)造控制系統(tǒng)來說，把狀態(tài)變量選為可測(cè)量或可觀察的量更合適。

9.2.4 狀態(tài)方程求解

9.2.4.2 矩陣指數(shù)的性質(zhì)及求法

對(duì)于線性定常系統(tǒng)來說，齊次方程的求解可歸結(jié)為求矩陣指數(shù) $e^{A(t?t_0)}$ 。$e^{A(t?t_0)}$ 具有以下基本性質(zhì)：

（性質(zhì)1）組合性質(zhì)，從

（性質(zhì)12）矩陣指數(shù) $e^{At}$ 可表示為有限項(xiàng)之和，即 $$e^{At}=\sum _{i=0}^{n?1}{A}^i{a}_i(t)$$

Proof. 見書 P243頁

（性質(zhì)13）矩陣指數(shù)函數(shù)可用拉氏反變換得到：$$e^{At}={\mathcal{L}}^{?1}[(sI?A{)}^{?1}]$$

9.2.4.1 齊次方程求解

$$X(t)=e^{A(t?t_0)}X(t_0)$$

$$X(t)=e^{At}{X}_0$$

9.2.4.3 非齊次方程求解

$$X(t)=e^{A(t?t_0)}X(t_0)+e^{At}{\int }_{t_0}^t{e}^{?A\tau }BU(\tau )d\tau$$

9.1 Matlab 函數(shù)

tf2ss() 將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型

zp2ss() 將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型

ss 直接建立狀態(tài)空間模型

canon() 將系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)化為對(duì)角型的函數(shù)

ss2ss() 進(jìn)行狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換的函數(shù)

rat() 返回一個(gè)有理近似值的字符向量

ctrb() 求取系統(tǒng)可控判別矩陣的函數(shù)

obsv() 求取系統(tǒng)可觀判別矩陣的函數(shù)

ctrbf() 系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解的函數(shù)

obsvf() 系統(tǒng)進(jìn)行能觀測(cè)性分解的函數(shù)

lyap() lyap2() dlyap() 求解李亞普諾夫方程函數(shù)

例題 9_2

% Page249：已知開環(huán)傳函，求狀態(tài)空間模型 clear; clc;% G1 函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式 num = [2, 8, 6]; den = [1. 8, 16, 6]; % 將 G1 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 [A1, B1, C1, D1] = tf2ss(num, den); % G2 函數(shù)的零極點(diǎn)、增益 z = [-1, -3]; p = [0, -2, -8]; k = 2; % 將 G2 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 [A2, B2, C2, D2] = zp2ss(z, p, k);

例題 9_3

% Page250：已知系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，求系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 clear; clc;% 微分方程輸入量、輸出量的系數(shù) num = [1, 2, 1]; den = [1, 3, 3, 1]; % 建立傳遞函數(shù)模型 sys1 = tf(num, den); % 求狀態(tài)空間表達(dá)式 sys = ss(sys1);

例題 9_4

% Page251：已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，求系統(tǒng)的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 clear; clc;A = [0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; B = [1; 0; 0]; C = [1 1 0]; D = 0; % 生成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 [As, Bs, Cs, Ds, Ts] = canon(A, B, C, D, 'mod');

例題 9_5

% Page252：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 clear; clc;num1 = [2, 1]; den1 = [1, 7, 14, 8]; % 求系統(tǒng)的分式表達(dá)式 [r1, p1, k1] = residue(num1, den1); % 對(duì)分式結(jié)果進(jìn)行變換，得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 A1 = diag(p1); B1 = ones(length(r1), 1); C1 = rat(r1); D1 = 0;

例題 9_6

% Page253：已知矩陣，求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 clear; clc;A = [0 1 0;0 0 1;1 -3 3;]; % 狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)刻 t = 0.2; % 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 Phi = expm(A*t);

例題 9_7

% Page253：已知狀態(tài)空間模型，求解脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、響應(yīng)曲線 clear; clc;A = [-2 -2.5 -0.5; 1 0 0; 0 1 0]; B = [1; 0; 0]; C = [0 1.5 1]; D = []; % 建立狀態(tài)空間模型 G = ss(A,B,C,D); % 仿真時(shí)間 t = [0:0.1:20]'; % 計(jì)算脈沖響應(yīng)并添加?xùn)鸥?% impulse(G); grid on % 計(jì)算階躍響應(yīng)并添加?xùn)鸥?% step(G); grid on% 接著輸入如下代碼 % 初始狀態(tài) xo = [1; 0; 2]; % 輸入量 u u(1, 1:20) = 2*ones(1, 20); u(1, 21:201) = 0.5*ones(1, 181); % 計(jì)算輸入響應(yīng) [y, t, x] = lsim(G, u, t, xo); % 繪制曲線 plot(t,x(:,1),'-', t,x(:,2),'--', t,x(:,3),'-.') % 添加坐標(biāo)軸 xlabel('時(shí)間/秒'); ylabel('幅值'); % 添加?xùn)鸥?grid % 添加標(biāo)注 text(6, 0.3, 'x_1(t)'); text(6, -0.5, 'x_2(t)'); text(8, 1.8, 'x_3(t)');figure(2) plot(t,y)

例題 9_8

% Page262：已知狀態(tài)空間模型，判斷系統(tǒng)是否可控？是否可觀？ clear; clc;A = [1 0 -1; -1 -2 0; 3 0 1]; B = [1 0; 2 1; 0 2]; C = [1 0 0; 0 -1 0]; % 計(jì)算可控判別矩陣 M = ctrb(A, B); % 計(jì)算可控判別矩陣的秩 RM = rank(M); % 計(jì)算可觀判別矩陣 N = obsv(A, C); % 計(jì)算可觀判別矩陣的秩 RN = rank(N);

例題 9_9

% Page263：已知狀態(tài)空間模型，判斷可控性，如果完全可控，轉(zhuǎn)化為可控 II 型 clear; clc;A = [1 2 0; 3 -1 1; 0 2 0]; B = [2; 1; 1]; C = [0 0 1]; D = 0; % 計(jì)算可控判別矩陣 T = ctrb(A, B); % 計(jì)算可控判別矩陣的秩 R = rank(T);% 計(jì)性狀態(tài)空間的線性變換 [Ac2, Bc2, Cc2, Dc2] = ss2ss(A, B, C, D, inv(T));

例題 9_10

% Page263：已知狀態(tài)空間模型，求該系統(tǒng)的能觀 I 型 clear; clc;A = [1 2 0; 3 -1 1; 0 2 0]; B = [2; 1; 1]; C = [0 0 1]; D = [0]; % 計(jì)算可觀判別矩陣 T = obsv(A, C); % 進(jìn)行狀態(tài)空間的線性變換 [Ao1, Bo1, Co1, Do1] = ss2ss(A, B, C, D, T);

例題 9_11

% Page264：已知狀態(tài)空間模型，進(jìn)行能控性分解和能觀性分解 clear; clc;A = [0 0 -1; 1 0 -3; 0 1 -3]; B = [1; 1; 0]; C = [0 1 -2]; % 能控性結(jié)構(gòu)分解 [Ac, Bc, Cc] = ctrbf(A, B, C); % 能觀性結(jié)構(gòu)分解 [Ao, Bo, Co] = obsvf(A, B, C);% 若想要得到標(biāo)準(zhǔn)形式 Acc = rot90(Ac, 2); Bcc = rot90(Bc, 2); Ccc = rot90(Cc, 2);

例題 9_12

% Page269：已知系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，給定正定對(duì)稱矩陣，求李亞普諾夫方程解 P clear; clc;% 狀態(tài)矩陣 A = [0 1; -1 -1]; % 給定的正定對(duì)稱矩陣 Q = [1 0; 0 1]; % 求解李亞普諾夫方程 P = lyap(A', Q); 上一篇回到目錄下一篇

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P9 线性系统状态空间分析-《Matlab/Simulink与控制系统仿真》程序指令总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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