本文轉自https://github.com/xsj0609/data_science/tree/master/ScoreCard

一、評分卡邏輯

?　信貸業務評估的是客戶的客戶違約率（Percent of Default）即PD，是[0,1]的概率，比如2%即100個客戶中有2個違約，簡稱為p。

?　評分卡中不直接用客戶違約率p，而是用違約概率與正常概率的比值，稱為Odds，即
$$Odds=\frac{p}{1?p}$$
$$p=\frac{Odds}{1+Odds}$$
?　評分卡的背后邏輯是Odds的變動與評分變動的映射（把Odds映射為評分），分值是根據Odds的前提條件算出來的，不是人工取的。以單個客戶在整張評分卡的得分的變動（比如評分從50分上升到70分）來反映Odds的變動（比如Odds從5%下降至1.25%），以及背后相對應的客戶違約率PD的變動（比如從4.8%下降到1.2%）。違約率PD不直觀、業務看起來不方便、不便計算，而評分就很直觀、便于計算。如圖所示。

二、評分映射公式

?　Odds映射為評分的公式為：
$$Score=A?Blog(\frac{p}{1?p})$$
<1> 預設條件
?　要算出系數A、B的話，需要從業務角度先預設兩個前提條件：

在某個特定的比率${\theta }_0$設定特定的預期分值$P_0$

指定比率翻番時分數的變動值（PDO）

解釋：

比如根據業務經驗，消費金融信貸的客戶違約率4.8%算正常（${\theta }_0$=Odds=5）。預設評分卡的分值為0-100分，那取預期分值$P_0$為50分，并指定當Odds按雙倍上下浮動時（比如2.5%或10%），分值則對應上下變動10分（比如60分或40分）。

這里=5%是根據業務經驗來的，沒有數學依據；

0-100分是根據做評分卡的需要來的，沒有數學依據。要是想做成600-1000分的評分卡也可以，修改對應的$P_0$和PDO就行；

$P_0$=50分是根據0-100分來的，也可以取45分或73分，不重要。重要的是隨著Odds翻番變動時，分數也隨之變動的聯動變化體系（你翻番我就變PDO=10分）

<2> 求解A、B
?　設定好${\theta }_0$、$P_0$、PDO后，聯動變化為：Odds(${\theta }_0$)對應的分值為$P_0$，且翻番的Odds($2{\theta }_0$)對應的分值為$P_0$+PDO。則有以下兩式：
$$P_0=A?Blog({\theta }_0)$$
$$P_0+PDO=A?Blog(2{\theta }_0)$$
解出A、B為：
$$B=\frac{PDO}{log(2)}$$
$$A=P_0+Blog({\theta }_0)$$

按上面的解釋舉個例子：
設θ_0、P_0、PDO為5%、50分、10分，則
$$B=\frac{10}{ln(2)}=14.43$$
$$A=50+14.43?ln(0.05)=6.78$$
則
$$Score=6.78?14.43?log(\frac{p}{1?p})$$
<3> 完整的對應關系表
?　按照公式，可以把所有Odds（$\frac{p}{1?p}$）和客戶評分、客戶違約概率（PD）的對應關系算出來

?　該關系對應表應該算信用評分卡的核心思想了，評分是外層表現，客戶違約率是內層核心，Odds是中間層轉換計算

三、Odds映射X變量

$$log(\frac{p}{1?p})={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...++{\beta }_n{x}_n$$

即
$$p=\frac{1}{1+e^{?}{\beta }^{T}x}$$
?　這樣就可以根據變量x和系數的的值計算出違約概率p了。

四、X變量細分到分組

?　我們要做的是分組評分卡，X是要對應到每個分組，得到各變量分組的評分然后相加得到客戶總評分的，那就還需要將X打散到各分類（用離散型數據入邏輯回歸模型）。因此這里的輸入X就不能是原始變量，而是原始變量分箱并算WOE后的woe值（類似離散變量中各類別的數值化），即：
$$Score=A?B[{\beta }_0+{\beta }_1({\delta }_{11}{w}_{11}+{\delta }_{12}{w}_{12}+{\delta }_{13}{w}_{13})+{\beta }_2({\delta }_{21}{w}_{21}+{\delta }_{22}{w}_{22}+{\delta }_{23}{w}_{23}+{\delta }_{24}{w}_{24})+...+{\beta }_n({\delta }_{n1}{w}_{n1}+{\delta }_{n2}{w}_{n2}]$$
?　假設類別型變量$x_1$、$x_2$、$x_3$分別有3、4、2個分類（數值型變量先分箱成類別型變量） ${\delta }_{ij}$代表第i個變量的第j個分類，客戶數據參與評分時，某個變量x只會有1個數，只會對應一個分類。比如，變量$x_1$的取值是第2個分類的話，那${\delta }_{12}$為1，則第二個分類的woe$w_{1}2$值生效，$x_1$的其他兩個$\delta$則為0，對應的其他兩個分類的woe值無效不參與計算。

五、生成評分卡

?　將上面的公式變下形式，變成最終可以組成評分卡的樣式

?　A、B已經算出，$\beta$是邏輯回歸模型的輸出系數，${\beta }_0$是邏輯回歸模型的輸出截距項，w是分箱后的woe值。至此評分卡就可以生成了。

【作者】：Labryant
【原創公眾號】：風控獵人
【簡介】：某創業公司策略分析師，積極上進，努力提升。乾坤未定，你我都是黑馬。
【轉載說明】：轉載請說明出處，謝謝合作！~

總結

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