文章目錄

• 預備知識
• • 什么是微積分
  • 一、 直線
  • • 1.1 增量
    • 1.2 直線的斜率
    • 1.3 平行線和垂直線
    • 1.4 直線的方程
  • 二、函數和圖形
  • • 2.1 映射
    • 2.2 逆映射與復合映射
    • 2.3 函數
    • 2.4 反函數和復合函數
    • 2.5 函數的運算
    • 2.6 初等函數

預備知識

什么是微積分

微積分（Calculus）是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

預備知識主要復習在開始學習微積分時要知道的最重要的知識，重點是函數和圖形。

一、 直線

證明微積分是如此有用的一個理由在于微積分是把一個量的變化率和該量的圖形聯系起來的正確的數學，解釋這種關系要從直線的斜率開始。

1.1 增量

定義：如果一個質點從點(x?,y?)，移動到點(x?,y?)，其坐標的增量為

?x = x? - x? 和 ?y = y? - y? .

增量可以是正的、負的或零。記號 ? 讀作 “delta”。

1.2 直線的斜率

每條非垂直的直線l，有一個斜率，每行進單位距離時高度的變化稱為直線的斜率。

我們稱 ?y = y? - y? 為 P? 到 P? 的升高，?x = x? - x? 是從 P? 到 P? 行進的距離。

定義：設 P? (x?,y?) 和 P? (x?,y?) 是非垂直直線 L 上的兩個點。L的斜率為
$$m=\frac{升高}{行進的距離}=\frac{?y}{?x}=\frac{y??y?}{x??x?}$$
當x增加時上升的直線具有正斜率；當x增加時下降的直線具有負斜率。水平線的斜率為零，因為其上的點具有相同的 y 坐標，使得 ?y = 0.對垂直的直線，?x = 0，從而 ?y/?x 是無意義的，我們說垂直直線沒有斜率來表示這一事實。

1.3 平行線和垂直線

平行線與x軸的夾角相等（圖a）。因此，非垂直的平行線具有相同的斜率。反之，具有相同斜率的直線與x軸的交角相等，所以是平行線。

如果兩條非垂直直線 L? 和 L? 是相互垂直的，其斜率 m? 和 m? 滿足m?m? = -1，所以每個斜率是另一個斜率的負倒數：
$$m?=?\frac{1}{m}?,m?=?\frac{1}{m}?$$

1.4 直線的方程

如果我們知道直線的斜率m和直線上的一點P?(x?,y?)，我們可以寫出任何非垂直線的方程。因為如果P(x,y)是直線上任意一點，則
$$\frac{y?y?}{x?x?}=m$$
所以
$$y?y?=m(x?x?)或y=m(x?x?)+y?.$$
點 - 斜式方程

定義：方程
$$y=m(x?x?)+y?$$
是過點(x?,y?)，且斜率為m的直線的點 - 斜式方程

斜率 - 截距方程

非垂直直線和 y 軸的交點的 y 坐標是直線的 y - 截距。類似地，非水平直線和 x 軸的交點的 x 坐標是直線的 x - 截距。斜率為 m 而 y- 截距為 b 的直線過(0,b)，所以
$$y=m(x?0)+b,更簡潔地，y=mx+b$$
定義：方程
$$y=mx+b$$
是斜率為m而 y - 截距為 b 的直線的 斜率 - 截距方程。

一般線性方程

如果 A、B都不全為零，則方程 Ax + By = C 的圖形是一條直線。每條直線都有這種形式的方程，即使是一條具有不確定的斜率的直線。

定義：方程
$$Ax+By=C（A和B不全為0）$$
是 x，y 的一般線性方程。

二、函數和圖形

函數是用數學術語來描述現實世界的主要工具。這里討論函數的基本概念，它們的圖形，位移或復合函數的方法，講述出現在微積分中的若干重要的函數類。

2.1 映射

映射是現代數學中的一個基本概念，而函數是微積分的研究對象，也是映射的一種。

1、映射的概念

定義：設 X，Y 是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對 X 中每個元素 x，按法則 f，在 Y中有唯一的元素 y 與之對應，那么稱 f 為從 X 到 Y 的映射，記作
$$f:X\to Y,$$
其中 y 稱為元素 x （在映射 f 下）的像，并記作 f(x)，即
$$y=f(x),$$
而元素 x 稱為元素 y（在映射 f 下）的一個原像；集合 X 稱為映射 f 的定義域，記作 D_f ，即 D_f = X；X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作 R_f 或 f(x)，即
$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$
從上述映射的定義中，需要注意的是：

• 構成一個映射必須具備以下三個要素：集合 X ，即定義域 D_f = X；集合 Y ，即值域的范圍：R_f ? Y；對應法則 f ，使對每個 x∈X，有唯一確定的 y = f(x) 與之對應。
• 對每個 x∈X ，元素 x 的像 y 是唯一的；而對每個 y ∈ R_f ，元素 y 的原像 x 不一定是唯一的；映射 f 的值域 R_f 是 Y 的一個子集，即 R_f ? Y ，不一定 R_f = Y。

滿射：設 f 是從集合 X 到集合 Y 的映射，若R_f = Y，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，則稱 f 為 X 到 Y 上的映射或滿射；

單射：若對 X 中任意兩個不同元素 x₁ ≠ x?，他們的像 f(x?) ≠ f(x?) ，則稱 f 為 X 到 Y 的單射；

雙射：若映射 f 既是單射，又是滿射，則稱 f 為 一 一 映射(雙射)。

映射又稱為算子。

在不同的數學分支中，映射有不同的慣用名。從非空集 X 到數集 Y 的映射又稱為 X 上的泛函，從非空集 X 到它自身的映射又稱為 X 上的變換，從實數集（或其子集）X 到實數集 Y 的映射通常稱為定義在 X 上的函數。

2.2 逆映射與復合映射

1、逆映射

設 f 是 X到 Y的單射，則由定義，對每個 y ∈ R_f ，有唯一的 x∈X，適合 f(x) = y。于是，我們可以定義一個從 R_f 到 X 的新映射 g ，即
$$g:R_f\to X,$$
對每個 y ∈ R_f，規定 g(y) = x，這個 x 滿足 f(x) = y。這個映射 g 稱為 f 的逆映射，記作 f^-1。其定義域 D_f^-1 = R_f，值域 R_f^-1 = X。

注意，只有單射才存在逆映射。

2、復合映射

設有兩個映射
$$g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z,$$
其中 Y₁ ? Y₂，則由映射 g 和 f 可以定義出一個從 X 到 Z 的對應法則，它將每個 x∈X 映射成 f[g(x)] ∈ Z。這個對應法則確定了一個從 X 到 Z的映射，這個映射稱為映射 g 和 f 構成的復合映射，記作 即

2.3 函數

從集合 D 到集合 R 的一個函數是對 D 中每個元素指定 R 中唯一元素的一種規則稱為函數。

定義：設數集 D ? R，則稱映射 f : D → R 為定義在 D 上的 函數，通常簡記為
$$y=f(x),x\in D,$$
其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量，D 稱為定義域，記作 D_f，即 D_f = D。

如果兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，那么這兩個函數就是相同的，否則就是不相同的。

函數的定義域通常按以下兩種情形來確定：一種是對有實際背景的函數，根據實際背景中變量的實際意義確定。另一種是抽象地用算式表達的函數，通常約定這種函數的定義域是使得算式有意義的一切實數組成的集合，這種定義域稱為函數的自然定義域。這種約定之下，一般用算式表達式的函數可用 y = f(x) 表達，而不必再表出 D_f 。

區間

區間的端點稱為邊界點，它們構成了區間的邊界，其余的點都是內點，它們構成了區間的內部，包括所有邊界點在內的區間是閉區間；不包含邊界點的區間是開區間。開區間的每一點都是該區間的內點。

表示函數的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析式（公式法）。

取整函數

設 x 為任一實數，不超過 x 的最大整數稱為 x 的整數部分，記作[x]。這圖形稱為階梯曲線，在 x 為整數值處，圖形發生跳躍，躍度為1，這函數稱為取整函數。

分段函數

有時一個函數要用幾個式子表示。這種自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數函數，通常稱為分段函數。

2、函數的幾種特性

（1）函數的有界性

設函數 f(x) 的定義域為 D，數集 X ? D。如果存在數 K?，使得
$$f(x)\le K?$$
對任一 x∈X 都成立，那么稱函數 f(x) 在 X 上有上界，而 K? 稱為函數 f(x) 在 X 上的一個上界。如果存在數 K?，使得
$$f(x)\ge K?$$
對任一 x∈X 都成立，那么稱函數 f(x) 在 X 上有下界，而 K? 稱為函數 f(x) 在 X 上的一個下界。若函數 f(x) 在 X 既有上界,又有下界,則稱該函數在 X 上有界。顯然， y=f(x) 在 X 上有界的充分必要條件是存在常數 M>0，使得任一 x∈X，都有 |f(x)| ≤ M。

（2）單調性

設函數在 f(x) 的定義域為 X，區間 E?X，如果對于區間 E 上任一兩點 x? 和 x? , 當x?< x?的時候，恒有 f(x?) < f(x?)，則稱為函數f(x)在區間 E 上是單調增加的；

設函數在 f(x) 的定義域為 X，區間 E?X，如果對于區間 E 上任一兩點 x? 和 x? , 當x?< x?的時候，恒有 f(x?) > f(x?)，則稱為函數f(x)在區間 E 上是單調遞減的；

（3）奇偶性

設函數 f(x) 的定義域 X 關于 y 軸對稱，對于所有的 x∈X， 有 f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數；

設函數 f(x) 的定義域 X 關于原點對稱，對于所有的 x∈X， 有 f(-x) = -f(x)，則稱 f(x) 為奇函數。

（4）周期性

設函數 f(x) 的定義域為 X，如果存在一個不為零的正數 t，使得對于任一 x∈D 有 (x±t)∈D，并且 f(x+t) = f(x) 恒成立，則稱為 f(x) 為周期函數，t 稱為 f(x) 的一個周期 ( f(x) 會有很多個周期，通常說周期函數的周期一般是指其最小正周期)。

2.4 反函數和復合函數

設函數 f : D → f(D) 是單射，則它存在逆映射 f^-1 ：f(D) → D，稱此映射 f^-1 為函數 f 的反函數。

按此定義，對每個 y ∈ f(D)，有唯一的 x ∈ D，使得 f(x) = y。于是有
$$f^{?1}(y)=x.$$
這就是說，反函數 f^-1 的對應法則是完全由函數 f 的對應法則所確定的。

一般地，y = f(x)，x ∈ D 的反函數記成 y = f^-1(x)，x ∈ f(D)。

若 f 是定義在 D 上的 單調函數，則 f : D → f(D) 是單射，于是 f 的反函數 f^-1 必定存在。相對于反函數 y = f^-1(x) 來說，原來的函數 y = f(x) 稱為直接函數。

設函數 y = f(u) 的定義域為 D_f ，函數 u = g(x) 的定義域為 D_g ，且其值域 R_g ? D_f ,則由下式 確定的函數
$$y=f[g(x)],x\in D_g$$
稱為由函數 u = g(x) 與函數 y = f(u) 構成的復合函數，它的定義域為 D_g ，變量 u 稱為 中間變量。

函數 g 與函數 f 構成的復合函數，即按 “先 g 后 f ” 的次序復合的函數，通常記為 f ? g，即
$$(f?g)(x)=f[g(x)].$$

2.5 函數的運算

設函數 f(x)，g(x) 的定義域依次為 D_f ，D_g，D = D_f ∩ D_g ≠ ?，則我們可以定義這兩個函數的下列運算：
$$\begin{gathered} 和(差)f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)，x\in D; \\ 積f?g:(f?g)(x)=f(x)?g(x),x\in D; \\ 商\frac{f}{g}=(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\{x|g(x)=0,x\in D\}. \end{gathered}$$

2.6 初等函數

$$\begin{gathered} 冪函數：y=x^u(u\in R是常數)， \\ 指數函數：y=a^x(a>0且a=1), \\ 對數函數：y=lo{g}_{a}x(a>0且a=1,特別當a=e時，記為y=lnx)， \\ 三角函數：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等， \\ 反三角函數：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等. \end{gathered}$$

以上這五類函數統稱為基本初等函數。

由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。

參考書籍：
《托馬斯微積分》
《高等數學》（同濟大學第七版）

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微积分笔记（一）--预备知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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