§3.7??曲線的凹凸與拐點

一、引例

研究了函數的單調性、極性，對于函數的性態有了更進一步的了解。為了描繪出函數的圖象的主要特征，僅憑此兩點還是不夠的。

【引例】作函數與在??上的圖象。

曲線的凹凸的特性可由下面的幾何圖形所反映出的事實看出：

二、凹凸的定義

設函數在上連續， 如果對上任意、兩點， 恒有

則稱曲線在上的是凹的(或凹弧)，也稱函數是上的凹函數。

如果恒有

則稱曲線在上是凸的(或凸弧)，也稱函數是上的凸函數。

函數的一階導數的符號可判斷函數的單調性，二階導數的符號又能確定函數的何種屬性呢?一個最簡單的例子，給我們以啟迪。

拋物線的二階導數為，

若， 即，拋物線是開口向上的凹弧；

若， 即，拋物線是開口向下的凸弧。

三、凹凸性的判別法

【定理】

設函數在上連續， 在內具有一階和二階導數，那未

(1)、若在內，?，則在上的圖形是凹的；

(2)、若在內，?，則在上的圖形是凸的。

證明(僅證(2))：

， 且?，??記??，

，

由拉氏中值公式有

兩式相減得：

對在區間上再一次地使用拉氏中值公式有：

其中：?。

依定理情形(2)的假設條件有， 從而

，即

，亦即

所以， 函數在上是凸的。

對此定理，我們給出兩點注釋。

1、定理的記憶方法

2、函數在任意區間上凹凸性的定義與判定與之相類似。

四、曲線的拐點

業已知道，函數一階導數為零或不存在的點，是函數單調區間的分界點，且函數在它左右兩側的單調性往往是相反的。

能否猜想：函數二階導數為零或不存在的點，它所對應的曲線上的點是曲線弧的凹弧與凸弧的分界點。

【拐點定義】連續曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點。

依拐點的定義， 不難給出確定曲線拐點的方法：

設函數在區間上連續

1、求出在上為零或不存在的點；

2、這些點將區間劃分成若干個部分區間，然后考察在每個部分區間上的符號，確定曲線的凹凸性；

3、若在兩個相鄰的部分區間上，曲線的凹凸性相反，則此分界點是拐點；若在兩個相鄰的部分區間上，曲線的凹凸性相同，則此分界點不是拐點。

【例1】求曲線的凹凸區間與拐點。

解：函數的定義區間為?，，

，令??得：。

將定義區間分為三個區間

當時，，點是曲線的一個拐點；

當時，，點也是曲線的一個拐點。

【例2】討論曲線的凹凸性與拐點。

§3.9??曲率

一、弧微分

1、有向曲線與有向線段的概念

給定曲線，取曲線上一固定點作為度量弧長的基點。規定：曲線的正向為依增大的方向。

對曲線上任一點，弧段是有向弧段,它的值規定如下：

(1)、的絕對值等于該弧段的長度。

(2)、當有向弧段的方向與曲線正向一致時，,相反時?。

有向弧段以后簡稱弧。顯然,弧是的函數,即，而且是的單調增加函數。

【例1】求曲線的弧。

解：選擇，對其上任一點，弧的長度是?。依弧的規定有：

若在的右側，即，則，應取?；

若在的左側，即，則，應取?。

總之，，顯然弧確為的單增函數。

2、弧的導數與微分

?設函數的導函數在上連續，又設，?為內兩點，在曲線上的對應點分別為與，取為曲線上的一固定點為。再設對應于的增量，弧的增量為,有

令，則，，,?

故?????

因是的單調函數，根號前應取正號，于是

???或??????

進一步地改寫可得弧微分公式

所代表的幾何意義如下圖所示：

二、曲率及其計算公式

1、曲率的概念

直覺與經驗告訴我們：直線沒有彎曲，圓周上每一處的彎曲程度是相同的，半徑較小的圓彎曲得較半徑較大的圓要厲害些，拋物線在頂點附近彎曲得比其他位置厲害些。

何為彎曲得厲害些??即：?用怎樣的數學量來刻劃曲線彎曲的程度呢??讓我們先弄清曲線的彎曲與哪些因素有關。

下面，我們給出刻劃曲線彎曲程度的數學量 －?曲率的定義。

設曲線具有連續轉動的切線，在上選定一點作為度量弧的基點。

設曲線上的點對應于弧，切線的傾角為，曲線上的另一點對應于弧，切線的傾角為。那么，弧段的長度為?，當切點從移到點時，切線轉過的角度為?。

比值表示單位弧段上的切線轉角，刻劃了弧的平均彎曲程度。稱它為弧段的平均曲率。記作?。

當時(即：)，上述平均曲率的極限就稱著曲線在點處的曲率，記作。

?????????????????????????????????????????????(1)

當存在時，有?。

由上述定義知，曲率是一個局部概念，談曲線的彎曲應該具體地指出是曲線在哪一點處的彎曲，這樣才準確。

2、曲率的計算

【例2】求半徑為的圓上任一點處的曲率。

圓周上的任一點處的曲率均為，這表明：圓周的彎曲程度處處一樣， 且半徑較小的圓周彎曲得更厲害些。

由例一可發現，利用曲率定義來計算曲率十分不便。下面，我們來推導曲線的曲率計算公式。

設曲線的直角坐標方程為?，且具有二階導數。

（是曲線的切線與??軸正向夾角）

兩邊對??求導得?????

，???

又??

據曲率計算公式(1)有：

????????????????????????????????????(2)

若曲線為直線，因，那么?。故直線的曲率為零。亦即：直線無彎曲。這與我們的常識是一致的。

假設曲線方程是參數方程????給出

則(2)式可相應地改成形式：

，，

?????????????????????????????(3)

【例3】求拋物線上任一點的曲率。

運行程序gs0304.m,可獲得拋物線與其曲率函數的圖象。

【例4】求立方拋物線上任一點的曲率。

運行程序gs0305.m,可得立方拋物線與它的曲率函數的圖象。

三、曲率圓與曲率半徑

據上述定義有：

1、曲率與曲率半徑的關系為：

2、曲線與它的曲率圓在同一點處有相同的切線，曲率，凹向。因此，可用圓率圓在點處的一段圓弧來近似地替代曲線弧。

下面推導曲率圓中心的坐標計算公式。

設的坐標為，曲線在點處的曲率圓方程為

其中：是動點坐標， 而?????????(1)

因點在曲率圓上，故

?????????????????????????????(2)

又曲線在點處的切線與曲率圓的半徑垂直，故有

，

亦即：???????????????????????????????(3)

???????????????????????????(4)

由式(2)與式(4)消去得：

注意到：當，即曲線為凹弧時，；

當，即曲線為凸弧時，，

總之與異號，因此，上式兩邊開方應取“?-?”號，有

將此式代入(3)式，有??，從而得

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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