高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值
§3.4??函數(shù)的單調(diào)性
一、從幾何圖形上看函數(shù)的單調(diào)性
運(yùn)行matlab程序gs0303.m，可得到函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)在上的圖象，從圖形上可以觀察到：
函數(shù)在上是單調(diào)減少，在上是單調(diào)增加；
其導(dǎo)函數(shù)在上小于零，在上大于零。
函數(shù)的單調(diào)性是否與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)有關(guān)呢?為此，我們進(jìn)一步地作圖，希望從中獲得更多的感性認(rèn)識(shí)。
函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)，則它的圖形是一條沿軸正向上升(下降)的曲線， 曲線上各點(diǎn)處的切線之斜率均為正的(負(fù)的)，即：
??()
這表明：函數(shù)的單調(diào)性確實(shí)與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)，因此，可以利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性。
二、函數(shù)單調(diào)性的判別法
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，，則
若在內(nèi)，則，從而?；
即：???函數(shù)在上單調(diào)增加；
若在內(nèi)，則，從而?，
即：???函數(shù)在上單調(diào)減少。
綜上討論， 我們有如下結(jié)論：
【函數(shù)單調(diào)性判別法】
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，
(1)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)增加；
(2)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)減少。
注明：
1、判別法中的閉區(qū)間若換成其它各種區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。
2、以后把函數(shù)單調(diào)的區(qū)間稱之為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性。
?解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>， 且
當(dāng)時(shí)，?， 故函數(shù)在上單調(diào)減少；
當(dāng)時(shí)，?， 故函數(shù)在上單調(diào)增加。
【例2】討論函數(shù)的單調(diào)性。
解：?函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，
當(dāng)時(shí)，?，?，??故函數(shù)在上單減；
當(dāng)時(shí)，???，??，??故函數(shù)在上單增。
因此，可以通過(guò)求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)其符號(hào)不確定的點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分劃成若干個(gè)部分區(qū)間，再判定函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在這些部分區(qū)間上的符號(hào)，繼而可決定函數(shù)在這些部分區(qū)間上的單調(diào)性。
【例3】試確定函數(shù)??的單調(diào)區(qū)間。
解：?當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)定義， 故函數(shù)在處不可導(dǎo)；
當(dāng)時(shí)， 導(dǎo)函數(shù)為?
令?得：?
于是， 點(diǎn)將函數(shù)定義域(??)分劃成四個(gè)區(qū)間?、、、，函數(shù)在這四個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性如下：
在上，?，???函數(shù)單增；
在???上，?，??函數(shù)單減；
在?????上，?，??函數(shù)單減；
在??上，??，??函數(shù)單增。
【例4】討論函數(shù)的單調(diào)性。
【結(jié)論】
一般地，如果在某區(qū)間上的有限個(gè)點(diǎn)處為零， 而在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)，那么在該區(qū)間上仍是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。
利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明較為復(fù)雜的函數(shù)不等式。
【例5】試證明：當(dāng)時(shí)， 有?
解：作輔助函數(shù)?，
，
，
當(dāng)時(shí)，???，??，
故??，
在上單調(diào)增加，從而有?，
而?，
于是?，在上也單調(diào)增加。
從而有?，
即?????。
該證明方法十分典型，對(duì)于一些較精細(xì)的函數(shù)不等式的證明可借助些法。
§3.5??函數(shù)的極值及其求法
一、極值的定義
設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)。若存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于的點(diǎn)，不等式
???()
成立，稱是函數(shù)的一個(gè)極大值(極小值)；稱點(diǎn)是函數(shù)?的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))。
函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；
使函數(shù)取得極值的點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。
關(guān)于函數(shù)的極值，如下幾點(diǎn)注記是十分重要的。
1、函數(shù)的極值概念是一個(gè)局部概念。
如果是函數(shù)的一個(gè)極大值，那只是對(duì)的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)是的一個(gè)最大值。但對(duì)于整個(gè)函數(shù)的定義域來(lái)說(shuō)，就不一定是最大值了。
對(duì)于極小值也是類似的。
2、極小值有可能較極大值更大。
如圖：?(?是極大值， 而是極小值?)
從圖中可看出，在函數(shù)取得極值之處，曲線具有水平的切線。換句話說(shuō)：函數(shù)在取得極值的點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)值為零。
二、函數(shù)取得極值的幾個(gè)重要定理
【定理一】(可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在處取得極值，則。
證明：不妨設(shè)是極大值?(極小值的情形也可類似地證明)
據(jù)極大值定義， 在的某個(gè)鄰域內(nèi)， 對(duì)一切異于的點(diǎn)，
均有??????????成立。
當(dāng)時(shí)，，
因此?；
當(dāng)時(shí)，，
因此?，
從而???。
使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程的實(shí)根)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。
定理一的結(jié)論可換成等價(jià)的說(shuō)法：
可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是為駐點(diǎn)。
反過(guò)來(lái)，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn),它最多只是可能的極值點(diǎn)。
【定理二】(?函數(shù)取得極值的第一充分條件?)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且
(1)、當(dāng)取左側(cè)的值時(shí)，恒為正；當(dāng)取右側(cè)的值時(shí)，恒為負(fù)，那么，在處取得極大值；
(2)、當(dāng)取左側(cè)的值時(shí)，恒為負(fù)；當(dāng)取右側(cè)的值時(shí)，恒為正，那么，在處取得極小值；
(3)、當(dāng)取左右兩側(cè)的值時(shí)，恒正或恒負(fù)，那么，在處沒(méi)有極值。
下面，我們給出第一充分條件的記憶方法：
一般?+?號(hào)往往表示得分，盈利等吉利的事情，蘊(yùn)含有增加的意思，我們可解釋?+?號(hào)表示走好運(yùn)，走上坡路。
而?-?號(hào)又往往表示扣分、虧損等不吉利的事情，它含有減少的意思，我們可解釋?-?號(hào)為走背運(yùn)，走下坡路。
當(dāng)在附近由左變到右時(shí)，符號(hào)由正變到負(fù)()，則曲線是先走上坡路，再走下坡路，呈??型，故是極大值；
當(dāng)在附近由左變到右時(shí)，符號(hào)由負(fù)變到正()，則曲線是先走下坡路，再走上坡路，呈??型，故是極小值。
【例1】求函數(shù)的極值。
解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且
，
令?， 可得到函數(shù)的可能極值點(diǎn)(駐點(diǎn))：。
當(dāng)?時(shí)，??，
當(dāng)????時(shí)，??，
故?是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且函數(shù)的極大值為
。
當(dāng)??時(shí)，，
故??是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且函數(shù)的極小值為
。
【定理三】(函數(shù)取得極值的第二充分條件)
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且、，??則
(1)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極大值；
(2)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極小值。
下面對(duì)情形(1)給出證明， 情形(2)的證明完全類似。
由于??，有
據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)， 當(dāng)在的一個(gè)充分小的鄰域內(nèi)且時(shí)，
而??，即
于是，對(duì)于這鄰域內(nèi)不同于的來(lái)說(shuō)，?與的符號(hào)相反，
即：當(dāng)，?時(shí)，??，
當(dāng)，?時(shí)，??，
據(jù)定理二知：在點(diǎn)處取極大值。
對(duì)極值判定的第二充分條件來(lái)說(shuō)，如下注記是重要的。
1、對(duì)于二階可導(dǎo)的函數(shù)，它在駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判定函數(shù)值為何種極值。
如果，則第二充分條件失效。請(qǐng)看下述反例：
這三個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為零，它們分別有極小值、極大值，無(wú)極值。
2、極值判定的第二充分條件的記憶方法
【例2】求函數(shù)的極值。
解：，
令， 得駐點(diǎn)???????
，
， 函數(shù)有極小值?
而?，?用第二充分條件無(wú)法進(jìn)行判定， 考察函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在的左右兩側(cè)鄰近值的符號(hào)。
當(dāng)取的左右側(cè)鄰近的值時(shí)，；
當(dāng)取?1?的左右側(cè)鄰近的值時(shí)，，
故函數(shù)在處沒(méi)有極值。
三、函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)處的極值判定
前面的討論中， 都假定了函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的這一條件。如果函數(shù)在某些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在， 函數(shù)在這些點(diǎn)處有可能取得極值嗎?
換句話說(shuō)，使函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)，是可疑的極值點(diǎn)嗎?
【例4】討論函數(shù)的極值。
這兩例所反映的事實(shí)說(shuō)明：
函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，也是函數(shù)可疑的極值點(diǎn)，在討論函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)予以考慮。
六、結(jié)論
求函數(shù)在定義區(qū)間上的極值，先找出函數(shù)在該區(qū)間上的可疑極值點(diǎn)(使函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn))，再運(yùn)用極值判定的第一或第二充分條件，對(duì)這些可疑極值點(diǎn)是否確實(shí)為極值點(diǎn)進(jìn)行判定。
§3.6??最小值與最大值問(wèn)題
一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值
綜上討論，函數(shù)取得最值的點(diǎn)只能是區(qū)間的端點(diǎn)或開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值，比較它們的大小就可得到函數(shù)的最值。
【例1】求函數(shù)在上的最值。
二、非閉區(qū)間上定義的函數(shù)最值
對(duì)于非閉區(qū)間上定義的函數(shù)，它有可能存在著最值，也有可能不存在著最值，這就給求函數(shù)最值帶來(lái)了困難。
探討函數(shù)最值，可先求函數(shù)的可疑極值點(diǎn)(駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))，并討論由這些點(diǎn)所形成的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的性態(tài)來(lái)判斷函數(shù)在這些可疑點(diǎn)處是否有最值。
下面以例子來(lái)說(shuō)明具體求法。
【例2】求函數(shù)?在定義區(qū)間?上的最值。
【例3】求函數(shù)在?的最值。
三、實(shí)用最值應(yīng)用問(wèn)題
利用求函數(shù)的最值來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題，有如下幾個(gè)步驟：
1、據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)表達(dá)式及它的定義區(qū)間；
2、求出該函數(shù)在定義區(qū)間上的可能極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))；
3、討論函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在可能極值點(diǎn)處是否取得最值。
【例4】試求單位球的內(nèi)接圓錐體體積最大者的高，并求此體積的最大值。
解：設(shè)球心到錐底面的垂線長(zhǎng)為，則圓錐的高為，圓錐面底面半徑為，圓錐體積為
由?,得駐點(diǎn)，
在上，，函數(shù)單增；
在上，，函數(shù)單減，
故是函數(shù)的最大值點(diǎn)，是函數(shù)的最大值。
于是最大的體積為，此時(shí)的高為。
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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