第三章????多維隨機變量及其分布

內容提要：

一、?二維隨機變量

1、二維隨機變量的定義：設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是，?是定義在S上的隨機變量，則叫做二維隨機向量或二維隨機變量。

2、二維隨機變量的分布函數的定義：設是二維隨機變量，對于任意實數，二元函數：

稱為二維隨機變量的分布函數，或稱為二維隨機變量和的聯合分布數.

3、二維隨機變量的分布函數的性質：

(1)?是變量的單調非降函數.

（2），且對于任意固定的對于任意固定的，，.

(3)?關于變量和的分別右連續

（4）對于任意有

需要注意的是：只要滿足這四條的二元函數一定是分布函數。

4、設二維隨機變量的全部可能取到得值是有限對或無限可列對記則稱為二維離散型隨機變量的分布律，或稱為隨機變量的聯合分布律。

二維離散型隨機變量的分布函數為：

5、對于二維隨機變量的分布函數，如果存在非負的可積函數使對于任意實數有

則稱是連續的二維隨機變量，函數稱為二維隨機變量的概率密度，或稱為隨機變量的聯合概率密度。

6、二維連續型隨機變量的概率密度的性質：

（1)?；??（2）；

(3)?設是面上的區域，點落內的概率為

；

（4）若在連續，則????????。

注意：類似二維隨機變量，我們可以定義多維隨機變量及其分布函數，并討論分布函數的性質。

二、條件分布和邊緣分布

???1、二維隨機變量作為一個整體，具有分布函數，而X和Y作為隨機變量，分布函數分別記為和，并依次稱為二維隨機變量關于X和關于Y的邊緣分布函數，并且。

（1）二維離散型隨機變量，分布律，則Ｘ和Ｙ的分布律分別為

和分別稱為關于和關于的邊緣分布律．

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變量的條件分布律。

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變量的條件分布律。

（2）二維連續型隨機變量，概率密度為，則和的概率密度分別為

和分別稱為關于X和關于Y的邊緣概率密度．

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變量的條件概率密度。

為在條件下隨機變量的條件分布函數。

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變量的條件概率密度。

為在條件下隨機變量的條件分布函數。

注意：關于聯合分布函數，邊緣分布，條件分布的概念可以類似推廣到維隨機變量上。

三、隨機變量的獨立性

1、二維隨機變量的分布函數為，邊緣分布函數分別為和，若對于任意實數，有

則稱隨機變量與稱是相互獨立的。

當是離散型隨機變量時，與相互獨立的充要條件是對于的所有可能取值有

當是連續型隨機變量時，與相互獨立的充要條件是等式

幾乎處處成立。

注：所謂“幾乎處處成立”是指平面上除去面積為零的以外，處處成立。

2、設是維隨機變量，其分布函數為

其中為任意實數。

若維隨機變量的分布函數是已知，則的維邊緣分布函數就隨之確定。例如維隨機變量的分布函數為

????若是維連續型隨機變量的概率密度，則的維邊緣概率密度就隨之確定。例如維隨機變量的概率密度為

若對于任意有

則稱是相互獨立的。

若對于任意；有

則稱與相互獨立。

若與相互獨立，則與相互獨立，其中是連續函數。

四、多個隨機變量的函數的分布

1、設是離散型隨機變量，分布律為

，

則的分布律為

設是連續型隨機變量，密度函數為,的分布函數為

2、設是連續型隨機變量，密度函數為,的分布函數為

特別地,當和相互獨立,?分布密度分別為和,的分布函數為

可以得到以下結論:

若,且相互獨立,則

若,且相互獨立,則

3、設離散型隨機變量，和相互獨立,?分布律分別為和?,則的分布律為

4、設是個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為，記，?，則的分布函數為

的分布函數為

特別地，當具有相同的分布函數時有，

典型例題分析

例1、?設二維隨機變量的聯合概率密度函數為

其中，則稱服從參數為的二維正態分布，記為。

則的邊緣分布和條件分布都是正態分布，且，

。

對于給定的實數在下的條件分布為

于給定的實數在下的條件分布為

解：具有概率密度

因為所以，

即。

同理

即。

對于給定的實數在下的條件概率密度函數為

即????

對于給定的實數在下的條件概率密度函數為

即????

所以，二維正態變量的邊緣分布和條件分布都是正態分布。

例2、?設隨機變量具有概率密度為

（1）求，并判定隨機變量是否相互獨立；

(2)求的概率密度函數.

解： （1）

同理

由于

隨機變量不相互獨立。

（2）的概率密度函數為

例3、?設隨機變量具有概率密度

求的概率密度函數.

解：設的分布函數為，

則當時，；

當時，

所以的概率密度函數

例4、設隨機變量相互獨立，具有相同的概率密度

求的概率密度函數.

解：????

的分布函數為

所以的概率密度函數為

的分布函數為

所以的概率密度函數為

例5、若,且相互獨立,則

證明：

所以。

由于,且相互獨立,

下面我們用數學歸納法，證明?。

當結論成立。假設有，。

由于相互獨立,則相互獨立,且，，所以有

。

例6、隨機變量的概率密度函數為

證明和不相互獨立，和相互獨立.

解：

同理

由于，

所以和不相互獨立。

當時，

當時，

；

同理，當時，；

顯然時，；

當時，；

即?

又

同理

所以，任意對于實數，有，于是和相互獨立。

?

自測題

一、填空題（每空3分，共21分）

(1)隨機變量和相互獨立，且，則隨機變量的分布律為　　　　

(2)設和是兩個隨機變量，，，則．

（3）已知隨機變量具有概率密度

則?????????，的邊緣密度函數．

（4）已知隨機變量具有概率密度

則?????????，＝．

（5）設相互獨立，且，

則．

二.（9分）?設隨機變量具有概率密度為

求的概率密度函數.

三（10分）．隨機變量和相互獨立，它們的概率密度函數分別為

求的概率密度函數.

四、（10分）設隨機變量和相互獨立，?，求

五、（10分）設隨機變量具有概率密度為

（1）???????求邊緣概率密度函數；??（2）判定隨機變量是否相互獨立；

(3)?求的條件概率密度函數.

六、（10分）設隨機變量相互獨立，具有相同的概率密度

求的概率密度函數.

七、（10分）隨機變量和相互獨立，它們的概率密度函數分別為

求的概率密度函數。

八、（10分）設隨機變量相互獨立，具有相同的概率密度

求的概率密度函數.

九、（10分） 若,且相互獨立,則

?

（四）自測題參考答案

一、（1）;????(2)0.8;

(3),?)；????(4)?；

(5)

二、?????三、

四、

五、（1）

（2）不相互獨立； （3）

（2）???????

六、

七、????????????

八、

九、（略）

from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap3.htm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第三章 多维随机变量及其分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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