生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
迭代法解方程：牛顿迭代法、Jacobi迭代法
小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.
牛頓迭代公式
設(shè)已知方程f(x)=0的近似根x0 ,則在x0附近f(x)可用一階泰勒多項式
近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示為p(x)=0。用x1表示p(x)=0的根,它與f(x)=0的根差異不大.?
設(shè)?,由于x1滿足解得
重復(fù)這一過程,得到迭代公式：
?
這就是著名的牛頓迭代公式,它相應(yīng)的不動點方程為
Jacobi迭代公式解線性方程組
線性方程組基本解法：
若方程組可同解變形為
Jacobi迭代法的計算公式：
即?
算法代碼
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?? #include<iostream>?? #include<string>?? #include<cmath>?? using?namespace?std;?? double?e=2.718281818284;?? double?f(double?x){?? ????return?pow(e,-1*x);?? }?? void?SimpleDiedai(double?x,double?d){?? ????double?a=x;?? ????double?b=f(a);?? ????int?k=0;?? ????while(((a-b)>d)?||?((a-b)<-1*d)){?? ????????cout<<a<<endl;?? ????????a=b;?? ????????b=f(a);?? ????????k++;?? ????????if(k>100){?? ????????????cout<<"迭代失敗！（可能是函數(shù)不收斂）"<<endl;?? ????????????return?;?? ????????}?? ????}?? ????cout<<b<<endl;?? ????return;?? }?? int?main(){?? ????cout<<"請輸入初始值x0和要求得結(jié)果的精度：";?? ????double?x,d;?? ????cin>>x>>d;?? ????SimpleDiedai?(x,d);?? ????return?0;?? }?? ?? ?? #include<iostream>?? #include<string>?? #include<cmath>?? using?namespace?std;?? double?e=2.718281818284;?? double?f(double?x){?? ????double?a=pow(e,-1*x);?? ????return?x-(x-a)/(1+a);?? }?? void?NewtonDiedai(double?x,double?d){?? ????double?a=x;?? ????double?b=f(a);?? ????int?k=0;??? ????while(((a-b)>d)?||?((a-b)<-1*d)){?? ????????cout<<a<<endl;?? ????????a=b;?? ????????b=f(a);?? ????????k++;?? ????????if(k>100){?? ????????????cout<<"迭代失敗！（可能是函數(shù)不收斂）"<<endl;?? ????????????return?;?? ????????}?? ????}?? ????cout<<b<<endl;?? ????return;?? }?? ?? int?main(){?? ????cout<<"請輸入初始值x0和要求得結(jié)果的精度：";?? ????double?x,d;?? ????cin>>x>>d;?? ????NewtonDiedai(x,d);?? ????return?0;?? }?? ?? ?? #include<iostream>?? #include<iomanip>?? #include<string>?? #include<vector>?? using?namespace?std;???????? ?? ?? double?MaxOfList(vector<double>x){?? ????double?max=x[0];?? ????int?n=x.size();?? ????for(int?i=0;i<n;i++)?? ????????if(x[i]>max)?max=x[i];?? ????return?max;?? }?? ?? ?? void?Jacobi(vector<vector<double>?>?A,vector<double>?B,int?n){?? ????vector<double>?X(n,0);?? ????vector<double>?Y(n,0);?? ????vector<double>?D(n,0);?? ????int?k=0;??? ????do{??? ????????X=Y;?? ????????for(int?i=0;i<n;i++){?? ????????????double?tem=0;?? ????????????for(int?j=0;j<n;j++){?? ????????????????if(i!=j)?tem?+=?A[i][j]*X[j];?? ????????????}?? ????????????Y[i]=(B[i]-tem)/A[i][i];?? ????????????cout<<left<<setw(8)<<Y[i]<<"?";?? ????????}?? ????????cout<<endl;?? ????????k++;?? ????????if(k>100){?? ????????????cout<<"迭代失敗！（可能是函數(shù)不收斂）"<<endl;?? ????????????return?;?? ????????}?? ?????????? ????????for(int?a=0;a<n;a++){?? ????????????D[a]=X[a]-Y[a];?? ????????}?? ????}while(?MaxOfList(D)>0.00001?||?MaxOfList(D)<-0.00001);?? ?????? ????return?;?? }?? ?? int?main(){?? ?? ????int?n;?? ????cout<<"請輸入方程組未知數(shù)的個數(shù)n：";?? ????cin>>n;?? ????cout<<endl;?? ?? ????vector<vector<double>?>A(n,vector<double>(n,0));?? ????vector<double>B(n,0);?? ?????? ????cout<<"請輸入方程組的系數(shù)矩陣："<<endl;?? ????for(int?i=0;i<n;i++){?? ????????for(int?j=0;j<n;j++){?? ????????????cin>>A[i][j];?? ????????}?? ????}?? ????cout<<endl;?? ?????? ????cout<<"請輸入方程組的值向量："<<endl;?? ????for(int?k=0;k<n;k++){?? ????????cin>>B[k];?? ????}?? ????cout<<endl;?? ?????? ????cout<<"您輸入的方程組為："<<endl;?? ????for(int?a=0;a<n;a++){?? ????????for(int?b=0;b<n;b++){?? ????????????cout<<A[a][b]<<"?";?? ????????}?? ????????cout<<"????"<<B[a]<<endl;?? ????}?? ????cout<<endl;?? ????cout<<"由雅可比迭代公式求的方程組的解為："<<endl;?? ????Jacobi(A,B,n);?? ????return?0;?? }?? 實驗過程原始記錄
（1）分別用簡單迭代法和牛頓迭代法求方程在x=0.5附近的一個根x*，要求精度為0.00001
（輸入0.5 0.000001）簡單迭代法得到結(jié)果：
（輸入0.5 0.000001）牛頓迭代法得到結(jié)果：
X0=0.5 ?x1=0.566311 x2=0.567143
（2）用雅可比迭代法求解方程組 ?
運行程序，根據(jù)提示輸入 （3） （10 -1 -2 -1 10 -2 -1 -2 5） ? ?（7.2 ?8.3 ?4.2）
實驗結(jié)果及分析
1、迭代法是一種逐次逼近法，這種方法使用某個固定公式－所謂迭代公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化，直至滿足精度要求的結(jié)果。迭代法是一種求解函數(shù)方程f（x）=0的解的方法，他解決了二分法無法求解復(fù)根級偶重根的問題，而其提高了收斂速度。迭代的思想是計算方法中基礎(chǔ)的求解問題的思想。
2、簡單迭代法的求根過程分成兩步，第一步先提供根的某個猜測值，即所謂迭代初值，然后將迭代初值逐步加工成滿足精度要求的根。迭代法的設(shè)計思想是：f (x) = 0等價變換成 然后由迭代公式 逐步球的滿足精度的解。實際迭代中不同迭代函數(shù)的求解可能影響求的精確解的運算量，甚至可能因為函數(shù)發(fā)散而無法求解。解題時可通過對導(dǎo)函數(shù)的判斷而判斷函數(shù)是否發(fā)散，而編寫代碼時可以通過判斷循環(huán)次數(shù)——即循環(huán)過多次而不能從循環(huán)中出來時就判斷為死循環(huán)，無法求得正解
3、簡單迭代法往往只是線性收斂，為得出超線性收斂的迭代格式，通常采用近似替代法，?即牛頓公式。迭代函數(shù)為 ?- / 牛頓法是一種逐步線性化方法。由實驗結(jié)果可以看到，雖然選取近似公式，但牛頓迭代法仍能得到精度很高的解，而且牛頓迭代法大大提高了收斂速度。
4、由迭代法求解線性方程組的基本思想是將聯(lián)立方程組的求解歸結(jié)為重復(fù)計算一組彼此獨立的線性表達式，這就使問題得到了簡化，類似簡單迭代法轉(zhuǎn)換方程組中每個方程式可得到雅可比迭代式
迭代法求解方程組有一定的局限性，例如要求方程組的系數(shù)矩陣具有某種特殊性質(zhì)，以保證迭代過程的收斂性，但迭代法同時有十分明顯的優(yōu)點——算法簡單，因而編制程序比較容易，所以在實際求解問題中仍有非常大利用價值。
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的迭代法解方程：牛顿迭代法、Jacobi迭代法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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