首先，和微積分類比一下：有測度論和沒測度論的概率論，對應到數學分析中，就是有實數完備性理論和沒有實數完備性理論的微積分。

看起來是不是有點繞。

事實上，就和實數完備性對于微積分的重要性一樣。有了測度論，才可以在集合的基礎上完備定義事件的集合（樣本空間）、樣本空間事件集合的集合（西格瑪代數）和對于集合的測度（概率）。這是奠定概率論的基本公理，沒有這些數學上的嚴謹定義，概率論自然不能如此嚴謹地演繹。如果能學好測度論，對于概率論及其后續課程的理解也會更加透徹，尤其是在大數定律部分。

但是，在實際運用上，同樣可以只從概率的角度對實際問題進行研究。也就是說，我們用的時候，一般是不考慮可測性之類的問題。就像很多人不知道實數完備性照樣可以計算微積分一樣。對于基本公理的理解只是便于對于學科的理解，因此學好了測度，看問題的角度還是會有所不同。建議有能力的同學還是好好學學吧，畢竟之后的課程中如隨機過程還是跑不開這類問題。你有了測度的只是再學習類似鞅，西格瑪代數域這類問題時，就會有比較清楚的認識。

測度論是概率論的理論基礎，所以概率中的一些概念抽象化就是對應的測度論中的概念。

概率是要度量“事件發生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全體”，對應到測度論就是“集合系”。“事件發生的可能性”是對事件的一種度量，對應到測度論就是“集合的測度”。

不是每個事件都可以定義其概率（發生的可能性的大小）的，對應的就是不是每個集合都可以定義測度，可以定義測度集合就是可測集。同時，事件必然要涉及到事件的組合運算（復雜事件是可由基本事件表示出來），對應的就是集合的交、并、差、余、極限的運算到復雜集合，所以又需要保證做可列次這些運算不能超出全體范圍（即可測集的范圍要足夠大，以保證集合的可列次交、并、差、余、極限的運算，之后還在里面）

那么什么樣的集合系，才能保證其中的集合是可測集（可以定義測度，又對那些運算封閉）呢？測度論中講了，只要集合系是σ-代數（也叫σ-域）就可以了。σ-代數的基本定義是：1. 全集在里面；2. 里面每個集合的余集在里面；3. 里面任意可列個集合的并集在里面。有了這三條基本定義，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集運算之后都能在里面。就滿足需要了。

所以，集合X + 該集合上的一個σ-代數F，（X，F）就是一個可測空間了，即可以定義測度的空間（F中任一集合都可以定義其測度（某種度量））。進一步再定義了測度μ，那么（X, F, μ）就是測度空間。

對應到概率論中，樣本空間Ω，事件域F（是個σ-代數），概率測度P，放一起（Ω，F，P）就是概率測度空間。概率測度P是滿足特殊要求的一種測度：P(Ω)=1.

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Borel Feild就是Borel σ-代數，表示實數軸上的σ-代數，可由實軸上的所有開集生成（的σ-代數），也可由實數軸上所有的(-∞,a]這樣的區間生成（σ-代數），是相等的。按σ-代數前面說的，實數軸上開集、閉集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、極限集的運算，都超不出該Borel σ-代數的范圍。

Borel σ-代數（我用Br表示）有什么用？其實概率論中的隨機變量，對應測度論中的可測函數，而可測函數就是從可測空間（X，F)到（R，Br）的可測映射：即Br中的任一集合在該映射下的原像都屬于F（即都是X上的可測集）。

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再說說隨機變量，前面說了概率論中要用集合表示事件，但事件五花八門，怎么統一用一種簡單的集合表示呢？這就用到映射的概念，建立一種從樣本空間（基本事件的全體）到實數軸的映射（一一對應）就可以了，這種映射就是隨機變量。有了它，基本事件映射到實數軸上就是的基本區間，基本事件經過運算生成的復雜事件，映射到實數軸上就是實數軸上Borel σ-代數中的集合。

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因為有了這個對應關系，要度量“事件發生的可能性的大小”（即概率測度），只要度量“實數軸上Borel σ-代數中的集合” 就可以了（前面說了Br因為是σ-代數是可以定義測度的，給Br中的集合定義概率測度就行了）。

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所以，隨機變量的測度論語言定義是這樣的：設（Ω，F，P）為概率測度空間，若對實數軸上Borel σ-代數中的任一集合（稱為Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，則稱X(w)為隨機變量。

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總之，隨機變量就是建立了“隨機事件”到“實數軸上Borel σ-代數”的一種對應，并且保證了建立了這種對應的隨機事件都是可以定義概率測度的。

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既然隨機事件{w∈Ω: x(w) ∈B}屬于F，那么可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意義的，為了簡單，概率中就記P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。

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特別地，若取B=(-∞,x), 則事件{X∈B}的概率

P{X∈B} = P{X≤x} :=F(x)

就定義成隨機變量X的分布函數。因為對任意的區間(a,b], 都可表示成

P{X ∈(a,b] } =P{a

進而，由這樣的區間經過至多可列次交、并、差運算的復雜的實數軸上的Borel集都可以用F(x)給出其概率。

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當然，隨機變量也可以定義為從樣本空間到平面R2上的映射，就是二元隨機變量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的测度论与概率论有什么关系？为什么要学习测度论？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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