樹和圖的概念

圖是一種特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由點和邊構(gòu)成，它可以用來描述元素之間的網(wǎng)狀關(guān)系，這個網(wǎng)狀沒有順序，也沒有層次，就是簡單的把各個元素連接起來。

圖的概念和基本性質(zhì)

圖（graph）：圖（graph）由邊（edge）的集合及頂點（vertex）的集合組成。通常記為：G=(V,E)。對于兩個圖G和G’，如果G’的頂點集合與邊集合均為G的頂點集合與邊集合的子集，那么稱G’是G的子圖。子圖實際上就是一張圖里面小一點的圖，也可以是點，不難理解。

圖常用來表示“多對多”的關(guān)系，如常說的：六度空間理論（Six Degrees Separation）

頂點（vertex）的屬性：

• 度數(shù)（degree），與該頂點相關(guān)聯(lián)的總邊數(shù)，一個圖G的總度數(shù)d(V)等于總邊數(shù)2倍：2E。當圖的邊具有方向時，一個頂點又分為出度（out-degree）和入度（in-degree），出度是以該頂點為起點的邊數(shù)，入度是以該頂點為終點的邊數(shù)。
• 階數(shù)（order），圖G中頂點集V的大小為G的階數(shù)。

邊又稱為線（line）或弧（arc），邊(u,v)中表示u和v鄰接（adjacent），(u, v) ∈ E，

邊（edge）的屬性：

一條邊是一個頂點對(u,v)，u, v ∈ V，按照圖的頂點對是否有序，頂點對有序的圖稱為有向圖（directed graph, digraph），此時邊(u,v)和(v,u)是兩條不同的邊，頂點對無序的圖稱為無向圖（undirected graph），此時邊(u,v)和(v,u)是兩條相同的邊，無向圖可看作一個特殊的有向圖

具有成分的邊包含：權(quán)（weight）、值（cost/value），此時圖由可分為有權(quán)圖（weighted graph）和無權(quán)圖（unweighted graph），無權(quán)圖可以看作是所有邊權(quán)值相同的有權(quán)圖。

路徑（path），一條路徑是一個頂點序列u1, u2, u3, …, un，(ui, u(i+1)) ∈E，1<=i<n。路徑長等于路徑的邊數(shù)：n-1，不包含邊的路徑長為0。

簡單路徑：路徑上所有頂點互異，起點和終點可以相同

環(huán)或圈（cycle），此時u1=un，而且路徑長至少為1，有向圖(u,v)和(v,u)是一個圈，無向圖(u,v)和(v,u)通常不被認為是一個圈。其中無圈圖（acyclic graph）中沒有圈，無圈有向圖又稱為DAG（directed acyclic graph）

• 自環(huán)邊（self loop），兩個頂點都相同的邊。
• 重邊或平行邊（parallel edges），連接兩個頂點的邊數(shù)超過一條，又稱為多重邊（multiple edges）

連通圖（connected graph），無向圖中每個頂點到任意頂點都存在一條路徑，連通的有向圖稱為強連通（strongly connected），非連通的有向圖，去掉方向其基礎(chǔ)圖（underlying graph）是連通的，則成為弱連通的（weakly connected）

完全圖（complete graph），圖中任意一對頂點都存在一條邊

稀疏圖（sparse graph），每個頂點的度數(shù)較小的圖

圖的基本基本概念

• 頂點的度：無向圖中連著頂點的邊的數(shù)目。
• 頂點的入度和出度：有向圖中，以這個頂點為起點的邊的數(shù)量稱為這個頂點的出度；以這個頂點為終點的邊稱為這個頂點的入度。
• 邊權(quán)：邊的費用，可以形象的理解為“過路費”。對于一張存在邊權(quán)的圖，我們稱為“帶權(quán)圖”。
• 連通：如果圖中兩點U,V之間存在一條由U經(jīng)過若干邊、點到達V的路徑，則稱U，V是連通的。
• 回路：起點和終點相同的路徑，稱為“回路”或“環(huán)”。另外，不存在環(huán)的有向圖稱為Directed Acyclic Graph(DAG)。
• 完全圖：每個點都與其它所有的點有連邊的圖。
• 無向圖：圖的邊沒有方向，可以雙向。
• 有向圖：圖的邊有方向，只能按箭頭方向從一點到另一點。
• 網(wǎng)絡(luò)：帶權(quán)重的圖
• 連通：如果從v 到w存在一條（無向）路徑，則稱v和w是連通的
• 路徑：v到w的路徑是一系列頂點的集合，其中任意一對相鄰的頂點間都有圖中的邊。
• 路徑的長度：是路徑中的邊數(shù)（如果帶權(quán)，則是所有邊的權(quán)重和）。如果v和w之間的所有頂點都不同，則稱簡單路徑
• 連通圖：圖中任意兩頂點都連通
• 連通分量：無向圖的極大連通子圖
• 極大頂點數(shù)：再加一個頂點就不連通了
• 極大邊數(shù)：包含子圖中所有頂點相連的所有邊
• 強連通：有向圖中頂點v和w之間存在雙向路勁，則稱v和w是強連通的
• 強連通圖：有向圖中任意兩頂點均強連通
• 弱連通圖：不符合強連通圖的條件，但是若是將邊的方向都去掉，如果是連通的，則稱為弱連通圖
• 強連通分量：有向圖的極大強連通子圖

圖的簡單應(yīng)用

圖的應(yīng)用很廣泛，這里舉幾個簡單的例子。

• 航空系統(tǒng)：頂點表示機場，邊表示時間、距離或飛行的費用，一般最好有強連通的航空系統(tǒng)，另外常見的需求問題有：求任意兩個機場的最佳航線。
• 交通流：頂點表示街道的交叉口或紅綠燈點，邊表示速度限度或車輛容量，這時可以求最可能參數(shù)交通瓶頸的位置，或找出一條最短路。
• 社交網(wǎng)絡(luò)：頂點表示用戶，用戶的活動、推薦或好友代表邊，這樣可以表示一個完整的社交用戶網(wǎng)絡(luò)。
• 電商推薦系統(tǒng)：頂點表示用戶已瀏覽、收藏、購物過等相關(guān)的商品，邊表示兩個商品的相似性，可表示為有權(quán)圖，權(quán)值為相似性的大小。

另外圖論又可用于研究物理學(xué)和化學(xué)中的分子

圖的遍歷

深度優(yōu)先搜索（Depth Firsh Search, DFS)：走一步，看一步，走不通后返回到上一個能走通的結(jié)點

廣度優(yōu)先搜索（Breadth First Search, BFs)：出隊一個，訪問一圈，訪問的同時入隊，相當于樹的層序遍歷（計劃性非常強，個人感覺用這種遍歷方式更好一些）

本系列主要講二叉樹，關(guān)于圖，推薦閱讀文章有：

• 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之圖的概念、存儲結(jié)構(gòu)及遍歷方式 https://www.cnblogs.com/ivy-zheng/p/10995510.html
• 圖的概念、存儲及遍歷 https://blog.csdn.net/qq_39914766/article/details/90182084
• 圖論(graph theory)算法原理、實現(xiàn)和應(yīng)用全解 www.srcmini.com/1635.html

轉(zhuǎn)載本站文章《講透學(xué)爛二叉樹(一)：圖的概念和定義—各種屬性特征淺析》,
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總結(jié)

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