大學物理和高中物理的銜接教學已經受到大學教師足夠的重視和研究[1-3]。大學物理的數學基礎是大學數學,特別是微積分和概率論。關于大學物理和大學數學課程的有效銜接和融匯教學國內也有初步的研究和實踐[4-6]。本文筆者在河海大學多年的《大學物理》教學經歷中明顯感覺到學生對大學物理中所需數學知識準備不足,這既增加了大學物理課程教學的難度,也影響了學生的學習效果。具體說來,是教師在講授大學物理知識的時候,學生所需的相關數學知識在《大學數學》課程中還沒有提前或同步學習到。例如在力學部分講運用分量變量法求解動力學問題的時候,學生還沒有在《高等數學》課程中接觸常微分方程。還有的原因是,物理和數學中的術語差別導致學生不能融會貫通,從而影響學生對物理知識的理解和應用。例如對于《大學物理》中理想氣體的麥克斯韋速度和速率分布及其有關的統計物理量,大多數學生就不知道與概率論中的相關概念的聯系,更不會進行比較學習。麥克斯韋速度、速率分布及其相關的統計物理量是《大學物理》和《熱學》課程中的重點和難點部分[7-9]。要把這部分知識點在有限的時間內講解清楚、易于學生接受,我們認為教師應該引導學生把這部分物理學知識和他們已經具備的相關的概率論知識緊密地聯系在一起[10-12],從而讓學生快速而準確的掌握相關的物理和數學知識。本論文用概率論的語言詳細分析了麥克斯韋速度和速率分布及其統計物理量的物理和數學上的意義,對比分析了這些物理量與概率論中相關數學對象或概念之間的區別和聯系。1麥克斯韋速度分布與正態分布理想氣體是熱力學系統中最簡單的研究對象。在一定溫度下,理想氣體的每一個分子都在做永不停息的無規則運動。我們無法知道每一時刻每個分子的速度,但所有這些分子的速度卻服從統計規律,即麥克斯韋速度分布。它的具體函數表達式為M=?2??3/2e-?2/2??,(1)其中T是平衡態下的溫度,k是玻爾茲曼常數,m和分別為分子的質量和速度。麥克斯韋速度分布函數的物理意義是分子速度在到+d之間的分子占氣體總分子數的比率為M?d??d??d??。對分子所有可能的速度進行積分即得到歸一化條件:-+-+-+M?d??d??d??=1.(2)由于三維理想氣體的各向同性性質,麥克斯韋速度分布函數可以寫成直角坐標系中三個獨立方向上的分布函數的乘積形式:M?=g??g??g??,(3)其中g??=?2??1/2e-???2/2??(4)表示理想氣體關于方向上的速度分量的分布函數。在數學上,這其實就是一個一維的正態(高斯)分布??灐??,它的概率密度函數的標準形式是N??=?2e-????222.(5)比較公式(4)和(5),得到隨機變量(速度分量)的期(1)(2)(3)(4)(5)望(平均值)=(??)=0,方差??th?和標準差?th?.。所以用概率論的語言說,麥克斯韋速度分布函數M是關于三個獨立速度分量的聯合概率密度。換句話說,麥克斯韋速度分布其實就是一種特殊的三維正態分布thth,其中向量值期望=()=0,協方差矩陣C為對角矩陣且對角元均為?th?.,各隨機變量分量,即速度分量的相關系數為0。一般地,可以證明n維理想氣體滿足的麥克斯韋速度分布是一個n維的各速度分量獨立的正態分布。圖1展示了二維理想氣體的速度分布函數。2麥克斯韋速率分布與分布考慮到理想氣體的各向同性,可以推斷氣體分子的速度分布只與速度的大小(速率)有關,而與速度的方向無關,這也可以從麥克斯韋速度分布公式(1)中直接看出來。因此,若用球坐標系描述氣體分子的速度分布,可以得到分布函數M只與速度的徑向分量即速率有關,而與極角和方位角無關。M對速度空

總結

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