Python小白的數(shù)學(xué)建模課-A4.2021年全國數(shù)學(xué)建模競賽A題（FAST主動反射面的形狀調(diào)節(jié)），本文轉(zhuǎn)載競賽賽題、評閱要點，進行賽題解讀和分析。

評閱要點為競賽組委會官方公布，完整體現(xiàn)了解題思路。

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2021全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模 賽題將于9月9日公布，競賽時間為2021年9月9日18:00 至 9月12日20：00。
本文首發(fā)于 2021年9月8日，內(nèi)容為 2020 年 B題；9月13日修改，內(nèi)容為 2021年 B題賽題；9月15日起更新，進行 2021年 A題的分析。

1. 賽題解讀（FAST 主動反射面的形狀調(diào)節(jié)）

2. 評閱要點（FAST 主動反射面的形狀調(diào)節(jié)）

3. 2021年A題（FAST 主動反射面的形狀調(diào)節(jié)）

中國天眼——500 米口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，簡稱 FAST），是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡。它的落成啟用，對我國在科學(xué)前沿實現(xiàn)重大原創(chuàng)突破、加快創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展具有重要意義。
FAST 由主動反射面、信號接收系統(tǒng)（饋源艙）以及相關(guān)的控制、測量和支承系統(tǒng)組成（如圖 1 所示），其中主動反射面系統(tǒng)是由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器及支承結(jié)構(gòu)等主要部件構(gòu)成的一個可調(diào)節(jié)球面。主索網(wǎng)由柔性主索按照短程線三角網(wǎng)格方式構(gòu)成，用于支承反射面板（含背架結(jié)構(gòu)），每個三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板，整個索網(wǎng)固定在周邊支承結(jié)構(gòu)上。每個主索節(jié)點連接一根下拉索，下拉索下端與固定在地表的促動器連接，實現(xiàn)對主索網(wǎng)的形態(tài)控制。反射面板間有一定縫隙，能夠確保反射面板在變位時不會被擠壓、拉扯而變形。索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板及其連接示意圖見圖 2 和圖 3。

主動反射面可分為兩個狀態(tài)：基準態(tài)和工作態(tài)。基準態(tài)時反射面為半徑約 300 米、口徑為500 米的球面（基準球面）；工作態(tài)時反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個 300 米口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面（工作拋物面）。圖 4 是 FAST 在觀測時的剖面示意圖，C 點是基準球面的球心，饋源艙接收平面的中心只能在與基準球面同心的一個球面（焦面）上移動，兩同心球面的半徑差為 F=0.466R其中 R 為基準球面半徑，稱 F/R 為焦徑比）。饋源艙接收信號的有效區(qū)域為直徑 1 米的中心圓盤。當 FAST 觀測某個方向的天體目標 S 時，饋源艙接收平面的中心被移動到直線 SC 與焦面的交點 P 處，調(diào)節(jié)基準球面上的部分反射面板形成以直線 SC 為對稱軸、以 P 為焦點的近似旋轉(zhuǎn)拋物面，從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域。

將反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面是主動反射面技術(shù)的關(guān)鍵，該過程通過下拉索與促動器配合來完成。下拉索長度固定。促動器沿基準球面徑向安裝，其底端固定在地面，頂端可沿基準球面徑向伸縮來完成下拉索的調(diào)節(jié)，從而調(diào)節(jié)反射面板的位置，最終形成工作拋物面。

本賽題要解決的問題是：在反射面板調(diào)節(jié)約束下，確定一個理想拋物面，然后通過調(diào)節(jié)促動器的徑向伸縮量，將反射面調(diào)節(jié)為工作拋物面，使得該工作拋物面盡量貼近理想拋物面，以獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果。

請你們團隊根據(jù)附錄中的要求及相關(guān)參數(shù)建立模型解決以下問題：

1、當待觀測天體 位于基準球面正上方，即 = 0°, = 90°時，結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素，確定理想拋物面。
2、當待觀測天體 位于 = 36.795°, = 78.169°時，確定理想拋物面。建立反射面板調(diào)節(jié)模型，調(diào)節(jié)相關(guān)促動器的伸縮量，使反射面盡量貼近該理想拋物面。將理想拋物面的頂點坐標， 以及調(diào)節(jié)后反射面 300 米口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、位置坐標、各促動器的伸縮量等結(jié)果按照規(guī)定的格式（見附件 4）保存在“result.xlsx”文件中。

3、基于第 2 問的反射面調(diào)節(jié)方案，計算調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比，即饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號與 300 米口徑內(nèi)反射面的反射信號之比，并與基準反射球面的接收比作比較。

附錄： 要求及相關(guān)參數(shù)

1、主動反射面共有主索節(jié)點 2226 個，節(jié)點間連接主索 6525 根，不考慮周邊支承結(jié)構(gòu)連接

的部分反射面板，共有反射面板 4300 塊。基準球面的球心在坐標原點，附件 1 給出了所有主索

節(jié)點的坐標和編號，附件 2 給出了促動器下端點（地錨點）坐標、基準態(tài)時上端點（頂端）的

坐標，以及促動器對應(yīng)的主索節(jié)點編號，附件 3 給出了 4300 塊反射面板對應(yīng)的主索節(jié)點編號。 2、基準態(tài)下，所有主索節(jié)點均位于基準球面上。

3、每一塊反射面板均為基準球面的一部分。反射面板上開有許多直徑小于 5 毫米的小圓孔， 用于透漏雨水。由于小孔的直徑小于所觀察的天體電磁波的波長，不影響對天體電磁波的反射， 所以可以認為面板是無孔的。

4、電磁波信號及反射信號均視為直線傳播。

5、主索節(jié)點調(diào)節(jié)后，相鄰節(jié)點之間的距離可能會發(fā)生微小變化，變化幅度不超過 0.07%。

6、將主索節(jié)點坐標作為對應(yīng)的反射面板頂點坐標。

7、通過促動器頂端的伸縮，可控制主索節(jié)點的移動變位，但連接主索節(jié)點與促動器頂端的下拉索的長度保持不變。促動器伸縮沿基準球面徑向趨向球心方向為正向。假設(shè)基準狀態(tài)下， 促動器頂端徑向伸縮量為 0，其徑向伸縮范圍為-0.6～+0.6 米。

8、天體 S 的方位可用方位角 和仰角 來表示（見圖 5）

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的A4.2021年全国数学建模竞赛A题-赛题分析与评阅要点（FAST主动反射面的形状调节）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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