Description

Input

Output

Sample Input

輸入1：

2 2

輸入2：

6 40

Sample Output

輸出1：

16

輸出2：

401898087

Data Constraint

Solution

• 設(shè) f（n，k） 為輸入為 n，k 的答案。

• 由于對于每一個元素，選取過程都是獨(dú)立的，

• 即元素 i 不會影響元素 j 的選取

• 那么可以得到 f（n，k）=f（1，k）n 。

• 下面來推導(dǎo) f（1，k） 。單個元素的選取的特點(diǎn)是：

• 選取 1 的位置是連續(xù)的，并會形成階梯狀。

• 如下圖：（當(dāng) k=6的情況：深色的是被選取的部分）

• 設(shè) Ai 為第 i 列最后選取的行是什么。若從第 1 列到第 m 列均存在格子被選取，

• 那么將滿足：

  Ai+1≤Ai（1≤i≤m）

• 設(shè) Gi,j 表示在第 i 列最后選取的是第 j 行的方案數(shù)，那么得到遞推式：

  Gi,j=∑p=jkGi?1，p

• 觀察可得：

  Gi,j=Gi?1，j+Gi，j+1

• 推導(dǎo)一下會發(fā)現(xiàn)這是組合數(shù)的形式！

• 由于元素可以一個也不選，也可以在任意位置結(jié)束，所以：

  f（1，k）=1+∑Gi,j=2k

• 綜合可得：

  f（n，k）=2n?k

• 則時間復(fù)雜度為 O（logn） ！

Code

#include<cstdio> using namespace std; const int mo=1e9+7; int n,k; inline long long ksm(long long x,int y) {long long s=1;while(y){if(y&1) s=s*x%mo;x=x*x%mo;y>>=1;}return s; } int main() {scanf("%d%d",&n,&k);printf("%lld",ksm(ksm(2,k),n));return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 4058. 【JSOI2015】子集选取的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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