本篇幅是關(guān)于大部分不定積分計(jì)算的總結(jié)。

該部分內(nèi)容會(huì)涉及到某些三角函數(shù)的知識(shí)，大家有空的時(shí)候去看下我之前的文章。

山城門(mén)徒：高中三角函數(shù)公式推理&記憶?zhuanlan.zhihu.com

文中若有錯(cuò)誤的地方，懇請(qǐng)廣大"乎友、帶佬"們指正；若對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助，請(qǐng)不忘點(diǎn)個(gè)贊(不要只收藏)或轉(zhuǎn)發(fā)給你身邊正在備考、學(xué)習(xí)的同學(xué)，在下表示萬(wàn)分感謝。

圖1 分割線內(nèi)容概要

★不定積分的相關(guān)概念

★常用不定積分公式

★常用不定積分計(jì)算方法

★結(jié)束語(yǔ)

以下內(nèi)容中，重點(diǎn)地方和公式推理會(huì)用黑體加以呈現(xiàn)；部分重要說(shuō)明用斜體加以區(qū)別。

不定積分的相關(guān)概念

一、原函數(shù)與不定積分

設(shè)函數(shù)

定義在某區(qū)間Ⅰ上若存在可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于該區(qū)間上任意一點(diǎn)都有 成立，則稱是 在區(qū)間Ⅰ上的一個(gè)原函數(shù)。

于是稱

= 為 在區(qū)間Ⅰ上的不定積分，其中C為任意常數(shù)(后面不再?gòu)?qiáng)調(diào))。

PS：談到函數(shù)

的原函數(shù)和不定積分，必須指明所在定義的區(qū)間。

二、原函數(shù)與不定積分的區(qū)別

我們通過(guò)對(duì)概念的說(shuō)明去加以區(qū)別。

1.原函數(shù)：若

在區(qū)間Ⅰ上有原函數(shù)，則就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)，且任意兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù)。

所以

的全體原函數(shù)所構(gòu)成的集合為

2.不定積分：設(shè)

,是在區(qū)間Ⅰ上的原函數(shù)，雖有= 和=，但=不一定成立，因?yàn)槌?shù)C一般是不相同的。

由此可見(jiàn)，二者在概念上存在較大的差異：前者是個(gè)無(wú)限集，后者是前者中的一個(gè)元素。

三、不定積分與微分的關(guān)系

口訣：先積后微，形式不變；先微后積，相差一個(gè)常數(shù)。

1.

或 (先積后微，形式不變)

2.

或 (先微后積，相差個(gè)常數(shù))常用不定積分公式(基本積分公式)

這一板塊灰常重要！！ It's important↓↓↓

1-① :

( 是常數(shù))；

1-②:

(

)，當(dāng)取、 、-2時(shí)可得到常用的結(jié)論。

圖1 1-②常用結(jié)論

1-③:

;

1-④:

; ();

1-⑤:

; ;

; ;

1-⑥:

1-⑦:

; ;

1-⑧:

; ;

1-⑨:

(

);

();

1-⑩:

(

);

();

1-?:

(

);

();

PS:我們可以得出兩個(gè)很重要的求導(dǎo)公式

※

※：

(

);

1-?:

;

;

1-?:

;

;

;

；

補(bǔ)充幾個(gè)有用的：

1-?：

這些不定積分請(qǐng)大家熟悉在心，戀戀不忘，必有回響！

常用不定積分計(jì)算方法

這一個(gè)板塊將為大家呈現(xiàn)常用的計(jì)算方法，也是做題的基本依據(jù)。部分內(nèi)容引用自數(shù)分、高數(shù)18講。

一、湊微分法(第一類換元積分)

1.基本思想:

,

2.說(shuō)明：當(dāng)被積函數(shù)有一部分比較復(fù)雜時(shí)，我們可以通過(guò)觀察把某些函數(shù)放到d的后面(放在d后面的函數(shù)會(huì)發(fā)生變化)，使得d后面的函數(shù)與前面復(fù)雜的被積函數(shù)具有相似的結(jié)構(gòu)，最后運(yùn)用基本積分公式將其求出(若不能求出的話則進(jìn)一步運(yùn)用其它方法求出)。

3.舉例說(shuō)明

⑴、計(jì)算：

通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)

這部分較復(fù)雜，且 ,我們發(fā)現(xiàn)將進(jìn)行積分后的函數(shù)與前面復(fù)雜的函數(shù)具有相似的結(jié)構(gòu)(都有),最后運(yùn)用基本積分公式求出(當(dāng)然這里湊微分時(shí)要湊成 ，然后不定積分前乘即可)。

解：原式

⑵、計(jì)算：

(數(shù)學(xué)分析例題)

這種類型積分比較復(fù)雜，直接給大家說(shuō)明，這種不定積分湊

比較合適，最常見(jiàn)的方法是三角代換(第二類換元積分將會(huì)陳述)。

解：原式

(根式提個(gè)x出來(lái)，便于湊)

(湊微分)

(根式提個(gè)3出來(lái)，使得2次項(xiàng)系數(shù)為1)

(分母湊完全平方)

(基本積分1-⑩)

PS:湊微分時(shí)加不加常數(shù)無(wú)影響，即

第一類換元法實(shí)質(zhì)上是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆過(guò)程！

4.常見(jiàn)湊微分公式總結(jié)

2-①：

( )

2-②：

( )

2-③：

( )

2-④：

2-⑤：

2-⑥：

2-⑦：

( )

2-⑧：

2-⑨：

2-⑩：

2-?：

二、換元法(第二類換元積分)

1.基本思想:

,

2.說(shuō)明:當(dāng)被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，可以通過(guò)換元的方法從d后面的函數(shù)放一部分到前面來(lái)，使其更容易積分。

3.舉例說(shuō)明：

⑴、計(jì)算：

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)分母是

的形式，于是想到三角代換( )。

解：令

，則

于是原式

PS:

，其中

然后畫(huà)一個(gè)三角形(剛才令的

，畫(huà)草圖的時(shí)候?qū)厼閤，鄰邊為1，角度為u)

圖2 輔助三角形

由三角形可以得到

; ,代入上式得

下面這道題還是用剛才那一道來(lái)舉例：

⑵、計(jì)算：

解:原式：

(想到: )

(令 )

(用萬(wàn)能代換—— ，具體內(nèi)容見(jiàn)總結(jié)⑤)

(基本積分1-⑨)

由

可知，，畫(huà)出輔助三角形

圖3 輔助三角形

由三角形可以得到

根據(jù)公式

,將sinu、cosu的表達(dá)式代入上式得

4.總結(jié)常見(jiàn)的換元方法(部分引用18講)

①三角函數(shù)代換——當(dāng)被積函數(shù)含有以下根式時(shí)，可以用三角代換，這里a>0

圖4 三角代換法則

PS：某些根式

,可通過(guò)配方后恒等變形化為以下三種模型。

、、 (比如:)

②根式代換——當(dāng)被積函數(shù)含有

、 、 等時(shí)，一般令 (有時(shí)候根號(hào)很難去掉)

例、計(jì)算

(同濟(jì)教材習(xí)題4-4，NO.23)

解法一：令

,則

原式

(公式1-⑨ 、?)

當(dāng)然，本題也可以這樣來(lái)處理。

解法二：原式

令

原式

根據(jù)三角代換得，

原式

若被積函數(shù)中即含有

,又含有 的結(jié)構(gòu)，令 ( 為m、n的最小公倍數(shù) )

例、計(jì)算

(同濟(jì)教材習(xí)題4-4，NO.22)

解：首先觀察被積函數(shù)中即含有

(2次根),又含有 (4次根)的結(jié)構(gòu)，則最小公倍數(shù)為4，

于是令

( )。

原式

(技巧)

③倒代換——在被積函數(shù)中，分母的次數(shù)比分子的次數(shù)高2次及以上時(shí)(不是所有都行得通)，可令

。

例、計(jì)算：

解：宏觀的看，分母次數(shù)高于分子次數(shù)，令

。

原式

④其它代換——若被積函數(shù)中含有

、、、等之類時(shí)，可以把這些函數(shù)令為t。若、、與 或 作乘法時(shí)(為x的n次多項(xiàng)式),優(yōu)先考慮分部積分法。

例、計(jì)算：

解：令

，則 .

原式：

(分部積分法)

畫(huà)一個(gè)輔助三角形(

)

圖5 輔助三角形

由圖可知，

故原式=

⑤萬(wàn)能代換——

是三角函數(shù)有理式不定積分，一般令可以將其化為有理函數(shù)的不定積分。

由

，根據(jù)萬(wàn)能公式得

則

例、計(jì)算：

解：令

,

原式

⑥關(guān)于三角函數(shù)的幾種變換

遇到三角有理函數(shù)的不定積分，并不是所有的都要通過(guò)萬(wàn)能代換去處理，這里總結(jié)了部分相關(guān)結(jié)論(實(shí)質(zhì)上是某些湊微分的過(guò)程換了個(gè)說(shuō)法而已)。

⑴、如果

是關(guān)于cosx的奇函數(shù)，即 ，則令 .

⑵、如果

是關(guān)于six的奇函數(shù)，即，則令.

⑶、如果

是既關(guān)于six的偶函數(shù)，又是關(guān)于cosx的偶函數(shù)，即，則令.

這里就⑶舉個(gè)例子。

例、計(jì)算

解：很明顯這是一個(gè)關(guān)于sinx、cosx的偶函數(shù)。令

原式

(這里的被積函數(shù)可以理解為是和t有關(guān)的函數(shù)，即可以等價(jià)變?yōu)閠的函數(shù)從而繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算)

(同時(shí)除以) (轉(zhuǎn)化為t的被積函數(shù))

(同時(shí)除以t2) (湊微分)

⑦歐拉(Euler)變換

歐拉變換的也可以將含有根式的不定積分化為有理函數(shù)的積分。

⑴、當(dāng)

時(shí)，令；

⑵、當(dāng)

時(shí)，令；

⑶、當(dāng)

時(shí)，令 或

例、計(jì)算：

解：作歐拉變換，令

,解得

原式

⑧對(duì)于

， ，

(

)類型，可利用積化和差來(lái)計(jì)算。

⑨對(duì)于

類型，若當(dāng)m、n中有一個(gè)奇數(shù)，可拆開(kāi)利用湊微分法來(lái)計(jì)算；

若m、n都是偶數(shù)，可利用倍角公式逐步求出不定積分。

⑩對(duì)于

、 類型積分，可利用分部積分法導(dǎo)出遞推公式計(jì)算。

三、分部積分法

1.基本思想：

(更好積分)

2.口訣：反、對(duì)、冪、三、指(指、三)，誰(shuí)在前，誰(shuí)不動(dòng)；誰(shuí)在后，d進(jìn)去(放在d后面)。

3.說(shuō)明

①比如被積函數(shù)中出現(xiàn)了反函數(shù)和三角函數(shù)，根據(jù)口訣順序就把三角函數(shù)放在d后面，其它的情況類似(若函數(shù)中出現(xiàn)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的情形，把誰(shuí)放在d后面都可以)。

②分部積分法習(xí)慣上去用下方表格去計(jì)算

表6 分部積分法表格

4.例題分析

⑴、常規(guī)型——計(jì)算：

(同濟(jì)教材習(xí)題4-3，NO.17)

解：觀察發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)是由冪函數(shù)和三角函數(shù)組成，根據(jù)口訣把三角函數(shù)放在d后面(

)

表7 常規(guī)型計(jì)算

由表格可知

原式

⑵、循環(huán)型——計(jì)算：

(同濟(jì)教材習(xí)題4-3，NO.7)

解：觀察發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)組成，根據(jù)口訣可以把三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)放在d后面(在這里令

)

表8 循環(huán)型計(jì)算

由表格可知

由此可見(jiàn)，這種算法多見(jiàn)于指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的情形

⑶、變通型——計(jì)算：

(同濟(jì)教材習(xí)題4-3，NO.9)

解：觀察發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)是由反三角函數(shù)和冪函數(shù)組成，根據(jù)口訣把冪函數(shù)放在d后面(令

)

表9 常規(guī)型計(jì)算(行不通)

這種方法似乎行不通，原因是arctanx求導(dǎo)后一直不為0，這里要對(duì)表格求導(dǎo)后的那一列作一個(gè)調(diào)配(見(jiàn)表10)。

表10 變通型計(jì)算

由表可知

原式

PS:①該方法實(shí)質(zhì)上是部分計(jì)算過(guò)程中換了種形式而已。

②重新調(diào)配的結(jié)果不影響符號(hào)變化：因?yàn)槲覀兪菍⒌诙凶髁苏{(diào)配，所以后面的符號(hào)按照第二列確定。

四、有理函數(shù)的積分

由于內(nèi)容過(guò)多，決定單獨(dú)列成一章，見(jiàn)下所示。

TianX：有理函數(shù)不定積分計(jì)算法則——留數(shù)拆分法?zhuanlan.zhihu.com結(jié)束語(yǔ)

寫(xiě)到最后。以上內(nèi)容是本人在復(fù)習(xí)的時(shí)候?qū)Ω恫欢ǚe分常用的方法，僅供參考。

In The End.

Thanks for your reading!

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的含根式的定积分计算_不定积分计算法则总结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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