結構力學?或固體力學?屬于應用力學的分支領域，其研究的主要內容包括計算固體材料的變形、應力和應變，通常用來確定結構(例如橋梁)的強度，以防止發生損壞或事故。結構力學分析的其他一些作用還包括：確定結構的柔性和計算動態力學性能，例如固有頻率以及對瞬態載荷的響應。

固體力學研究與材料科學緊密相關，因為其中一個基本原則是使用合適的模型來描述所用材料的力學特性。不同類型的固體材料需要截然不同的數學描述，例如，金屬、橡膠、土壤、混凝土和生物組織。扭曲管上的孔所受的應力。幾何過渡常常引起局部應力集中。

結構力學中的三個基本關系

在力學中，結構可以分為靜定結構?和超靜定結構。對于第一種情況，系統中的所有力都可以完全通過平衡條件進行計算。在現實生活中，普遍存在著超靜定性，至少在計算組件內部的應力分布時如此。在超靜定系統中，我們必須考慮變形才能準確計算結構中的力。

圖中顯示一個靜定結構?？梢愿鶕皇┘恿Φ慕宇^處的水平和垂直力的平衡來確定兩根棒材的受力情況。

圖中顯示一個超靜定結構。僅通過接頭的兩個力平衡方程無法確定三根棒材的受力情況。力的分布受每根棒材剛度的影響。由于存在超靜定性，幾乎所有結構力學分析都依賴于相同的三類方程，它們表示平衡、協調?和本構關系。然而，這些方程可以具有不同的形式，取決于涉及的分析層面：連續體，或者大規模結構。

應力和平衡方程

平衡方程基于牛頓第二定律，它指出，作用在一個物體上的所有力(包括任意慣性力)的總和為零，因此任意結構的所有部分都必須處于平衡狀態。如果您對材料的某個位置進行虛擬切割，則切割中必須存在與外載荷平衡的力。這些內力稱為應力。

棒材上的外力由內應力來平衡。在三維中，材料中的應力用應力張量表示，可以寫為應力張量中的每個元素表示材料單位面積上的力分量。其中一個下標表示力分量的方向，另一個下標表示受力表面的法線方向。從力矩平衡方面考慮，應力張量是對稱的，并且包含六個單獨的值。從應力角度看，牛頓第二定律可以表述為其中，為單位體積力，為質量密度，為位移矢量。

應變和協調方程

協調關系是對變形的要求。舉例來說，在一個框架中，在某個點接合的所有成員的端部都必須沿同一方向移動相同的距離。在材料內部，局部變形通過表示相對變形的應變?來描述。對于簡單的棒材拉伸來說，工程應變?是位移?與原始長度?之比。純拉伸工程應變的定義。在一般的三維設置中，應變也可以用對稱張量來表示，其中，各個元素均被定義為位移的導數，由于應變張量的各個分量是根據位移場推導出來，因此它們不具有任意空間分布特征，這就為連續體提供了協調條件。無論是在結構層面還是連續體層面，這些協調條件基本上都是幾何關系。正如平衡關系一樣，這些都是基本條件，不包含任何假設。

本構關系

本構關系是一種材料模型，用于在力和變形，或者應力和應變之間形成橋梁。與上述兩組方程不同，本構關系不能根據第一性原理推導出來，只是純經驗性的力學關系。熱力學定律、對稱條件以及類似的論點最多只能為可用于材料模型的數學結構提供一些限制條件。從數學角度來看，材料模型將應力和應變聯系起來。在少數情況下，對于彈性材料來說，這種關系是獨一無二的，其中通常還包含時間導數(如黏彈性材料)或以前應變的記憶(如塑性材料)。對于每種材料，我們都需要進行測量，然后將這些測量值擬合到適當的數學模型中。

線彈性材料

最基本的材料模型是線彈性，其中的應力與應變成正比。舉例來說，在結構層面上，線彈性意味著梁的撓度與所承受的外加載荷成正比。在實踐中，這種材料模型通常能夠滿足需求。各向同性線彈性材料可以由兩個獨立的材料常數來表征，我們通常選擇彈性模量(楊氏模量)E?和泊松比?。假設一個橫截面為 A、長度為 L 的棒材，受到軸向力 F 的作用：承受軸向載荷的桿。軸向應力是力與橫截面積之比，如果測得的伸長率為 Δ，則軸向應變為彈性模量給出了軸向應力與軸向應變之間的關系：應力和應變或者力和位移之間的比例稱為胡克定律。結合上述方程，可以得到棒材的剛度關系為通常情況下，承受拉力的棒材不僅在橫向上延伸，還會產生收縮。橫向應變與軸向應變之間的關系由泊松比給出：胡克定律的三維推廣形式可以寫為其中，D 是對稱的 6×6 矩陣。對于最一般的各向異性材料，該矩陣包含 21 個獨立常數。對于各向同性材料，它只是 E 和?的函數：

其他材料模型

結構力學應用的材料模型有許多種類，每一類都包含許多模型可供使用，下表列出了一些示例。

對于各向同性線彈性固體，可以為位移矢量?制定一個包含三個偏微分方程(PDE)的方程組，涵蓋了問題的各個方面。由此可以得到納維方程，寫為其中，和?是兩個獨立的材料常數，稱為拉梅參數。根據?E?和?，納維方程也可以寫為對于更為一般的情況，不可能根據位移明確地建立固體力學方程。在這些情況下，必須求解一組耦合的平衡方程、本構方程和協調方程。

邊界條件

我們必須施加適當的邊界條件，才能為固體力學問題建立完整的公式。

指定位移

通常，物體的某些邊界的位移是已知的，例如，一座建筑物靜置于地面上。如果已知位移不足以抑制所有可能的剛體運動，則不可能完全確定位移場。在已知外載荷的情況下，由于不考慮絕對位移，我們仍可以計算應力。不過，數值解通常需要一組足夠的指定位移。在數學上，指定位移提供了狄利克雷條件。

力

在大多數固體力學分析中，外力是問題公式的一部分。力可以是體積力，例如重力或離心力。此類載荷是控制偏微分方程的組成部分，而不是邊界條件。此外，還有一種載荷作用在邊界上，例如管道中的內壓或雪在屋頂上施加的力。這種情況實際上是諾伊曼邊界條件。在某些情況下，載荷的方向會隨變形發生變化，此類載荷稱為隨動載荷。由于這種載荷會引起變形，這種變形反過來又改變載荷，因此，這些載荷會導致非線性問題。

彈性

彈性地基可以看作是以上兩種類型的混合體。其中，結構上的作用力是位移的函數，二者通常成正比。在數學上，這稱為?羅賓邊界條件。舉例來說，我們不能總是將建筑物下方的土壤視為零位移，而必須以這種方式分析其柔性。在抑制剛體運動方面，彈性支承是指定位移的替代方法。

穩態和動態問題

廣義牛頓第二定律包含加速度產生的慣性力。在許多情況下，載荷變化緩慢，動態項可以忽略。這一假設在實際工程中很常見，這種公式稱為靜態、穩態或準靜態公式。由于扳手中的振動不在我們的研究范圍內，因此，我們通?？梢詫β菟〝Q緊執行靜態分析。

特征頻率

結構總是具有質量的。通過牛頓第二定律實現的慣性與彈性組合，可以產生具有二階時間導數的微分方程，比如，從上面討論的納維方程中就可以看出這一點。這種方程通常具有波型解。通過使用適當的邊界條件并假設諧波解，由此得到的方程組可以表示特征值問題。求解特征值問題可以得到一組特征值，稱為特征頻率?或固有頻率。從物理角度看，這意味著彈性結構往往會在一些不同的頻率下產生振動。每個特征頻率對應的變形模式稱為特征模態。懸臂梁的前兩個特征模態。確定結構的特征頻率幾乎是所有動態分析的核心，原因在于這一結果表明了結構發生共振的頻率。通過確定特征頻率，可以看出特定載荷的時間尺度是否能夠引起動態放大。

動載荷

如果載荷隨時間變化的時間尺度與結構的某些固有頻率的周期時間相當，就需要考慮動態響應。動載荷可分為確定性載荷和隨機載荷。對于確定性載荷，影響結構的所有載荷的歷史都是完全已知，機器零件中通常施加這種載荷。另一方面，除非從平均意義上來看，否則隨機類型的載荷不具有可預測的時間歷史，風載荷和地震載荷就屬于這類載荷。

瞬態載荷

人們習慣采用完整的時間歷史作為對確定性載荷最一般的描述。在計算位移和應力時，必須結合一組適當的初始條件來求解控制微分方程，通常，人們會使用某種類型的時間步進算法以數值方式進行求解。

諧波載荷

在實踐中，載荷發生諧波變化是很常見的，旋轉電機中常常發生這種情況。如果結構具有線性特性，那么一旦有任何瞬時啟動的變化發生消失，此時的響應也是諧波響應。這類問題可以在頻域中進行有效求解。如果諧波載荷的頻率接近結構的固有頻率，則與穩態解相比，響應明顯增大。在共振時，也就是載荷頻率與固有頻率完全一致時，振幅變得非常大。位移僅受結構阻尼的限制，這種阻尼通常較小。在計算諧波載荷時，通常需要研究頻率響應。這意味著需要分析許多加載頻率的響應，計算結果顯示為頻率的函數。

支架的頻率響應分析。固有頻率為 115 Hz 時產生明顯的共振峰值，而頻率在 300 Hz 附近的兩個特征模態沒有激勵到相同程度。

如果問題是非線性的，當涉及機械接觸時，即使是諧波載荷，其響應也不再是諧波響應。在大多數情況下，這種問題必須作為一般的瞬態問題進行求解。

隨機載荷

我們以高層建筑所承受的風載荷作為隨機載荷的例子。平均風速沿塔樓發生變化，但有時還有陣風，而其強度和持續時間是隨機的。此外，在研究結構的不同位置時，并不總是同時會有陣風。如果存在多個測量值，理論上可以對每個測量結果執行瞬態分析。然而，這并不能覆蓋將來出現的任何陣風情況，因為將來的情況與測量結果不完全相同。測得的隨機載荷歷程。對于隨機載荷情況，載荷最好通過其統計特征進行描述，通常以功率譜密度(PSD)的形式給出。因此，對這種載荷的位移或應力響應也用統計術語進行描述。

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總結

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