作者 | 張景中

來(lái)源 | 《數(shù)學(xué)家的眼光》

兩樣?xùn)|西，相同還是不同，張三和李四可能有不同的見(jiàn)解。

一本小說(shuō)和一本數(shù)學(xué)手冊(cè)，對(duì)讀者來(lái)說(shuō)是很不一樣的。到了廢紙收購(gòu)站，如果都是半斤，都是一樣的紙，都是32 開(kāi)本，就沒(méi)有什么不同了。

即使是同一個(gè)人吧，他看小說(shuō)的時(shí)候，內(nèi)容的不同對(duì)他是很重要的。看得瞌睡了，把書(shū)當(dāng)枕頭，內(nèi)容不同的書(shū)所起的作用也就大致一樣了。

數(shù)學(xué)家看問(wèn)題，關(guān)心的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，用的是抽象的眼光。有些我們覺(jué)得不同的東西，數(shù)學(xué)家看來(lái)卻會(huì)是相同的。

3?只小雞、3只熊貓、3條恐龍，它們之間的差別可以使生物學(xué)家激動(dòng)不已。但是對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，無(wú)非都是干巴巴的數(shù)字“3”而已。月餅、燒餅、鐵餅，到了數(shù)學(xué)家那里，無(wú)非都是圓。

數(shù)學(xué)家的眼光，又是十分精確而嚴(yán)密的。我們覺(jué)得一樣的東西，或差不多的東西，數(shù)學(xué)家看來(lái)卻會(huì)有天壤之別。

德國(guó)的魯?shù)婪蛟?jīng)把圓周率π算到小數(shù)點(diǎn)以后的35位：

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288......

用這樣的π值計(jì)算一個(gè)能把太陽(yáng)系包圍起來(lái)的大球的表面積，誤差還不到質(zhì)子表面積的百分之一，夠精確了吧??但數(shù)學(xué)家看來(lái)，它和真正的π有本質(zhì)的不同：這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，而π是無(wú)理數(shù)！

一條線段上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。如果把它的兩個(gè)端點(diǎn)去掉，線段的長(zhǎng)度不會(huì)變，因?yàn)辄c(diǎn)沒(méi)有大小，不占地方。也許你覺(jué)得，多這兩個(gè)點(diǎn)和少這兩個(gè)點(diǎn)沒(méi)什么關(guān)系吧！數(shù)學(xué)家卻不這么大方。他們對(duì)這兩個(gè)點(diǎn)，可真是斤斤計(jì)較，或者更確切地說(shuō)，是錙(zi) 銖(zhu) 必較。在數(shù)學(xué)里，帶有兩個(gè)端點(diǎn)的線段叫“閉線段”，不帶這兩個(gè)端點(diǎn)的線段便叫“開(kāi)線段”。一開(kāi)一閉，大不相同。在高等數(shù)學(xué)里，不少定理對(duì)閉線段成立，對(duì)開(kāi)線段就不成立。

在數(shù)軸上，不等式0≤x≤1表示閉線段，也叫閉區(qū)間[0,1]，而不等式0<x<1表示開(kāi)線段，也叫開(kāi)區(qū)間(0,1)。在閉區(qū)間[0,1] 里有最大數(shù)1，有最小數(shù)0。可是在開(kāi)區(qū)間(0,1)里，卻沒(méi)有最大的數(shù)和最小的數(shù)。

假想閉區(qū)間[0,1]里的每個(gè)點(diǎn)都是一個(gè)小人兒，下雨啦，他們撐起了無(wú)數(shù)的小傘，小傘替每個(gè)點(diǎn)都很好地遮了雨。有一條定理說(shuō)：這時(shí)沒(méi)有必要用無(wú)窮多把傘，從這些傘里一定可以挑出有限把，其他的都收起來(lái)，照樣遮雨。這是微積分學(xué)里一條有名的定理，叫“有限覆蓋定理”。

有趣的是，對(duì)開(kāi)區(qū)間(0,1)，卻沒(méi)有“有限覆蓋定理”。

比如，下面這無(wú)窮多的一串傘(圖2-1)：

(1/3,1),(1/4,1/2),(1/5,1/3),(1/6,1/4), ……(1/n,1/(n-2)), ……確實(shí)遮蓋了(0,1)中的每個(gè)點(diǎn)。如圖所示：

具體地說(shuō)，（1/3,1）包含了1/2，（1/4,1/2）又包含了1/3，（1/5,1/3）包含了1/4……（1/(n+1),1/(1/(n-1)）包含了1/n。

但是，決不可能從這一串“傘”里挑出有限把傘，替(0,1)中的每個(gè)點(diǎn)都遮好雨。事情很清楚，如果挑出來(lái)的這有限把傘里最左邊的是（1/m,1/(m-2）)

那么，1/m這個(gè)點(diǎn)便淋雨了。比1/m更小的那些數(shù)所表示的點(diǎn)，當(dāng)然也都是“不幸”的挨雨淋的小東西。

多兩點(diǎn)與少兩點(diǎn)，這里面大有文章，值得反復(fù)推敲。數(shù)學(xué)家看問(wèn)題，就是這樣反復(fù)推敲的。

文章選載自張景中著《數(shù)學(xué)家的眼光》

選自 | 好玩的數(shù)學(xué)

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学家眼里的相同与不同的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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