王國維在《人間詞話》中提出：“詞以境界為最上。有境界自成高格，自有名句。”他認(rèn)為?：“境非獨(dú)謂景物也，喜怒哀樂亦人心中之一境界。故能寫真景物真感情者，謂之有境界。否則謂之無境界。”他說：“有造境，有寫境，此‘理想’?與‘寫實(shí)’?二派之所由分。”他還把境界分為?“無我之境”和“有我之境”。?對(duì)詩人的修養(yǎng)，他指出“詩人對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣；出乎其外，故有高致。”?另外，王國維還借用古代詩人的詞句提出了著名的治學(xué)“三境界”。按我的理解，這三個(gè)境界依次是“志存高遠(yuǎn)、艱苦探索、最終頓悟”。

我認(rèn)為：評(píng)價(jià)一項(xiàng)數(shù)學(xué)成就的高低，也應(yīng)該是境界為上?。數(shù)學(xué)的境界有些方面是與詩歌境界相通的，數(shù)學(xué)家也要“對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。”數(shù)學(xué)也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創(chuàng)造理論”，后者是“解決難題”。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)的境界可以有如下幾個(gè)內(nèi)容：1）大道至簡，大美天成?；2）四美：簡潔，和諧，對(duì)稱，雅致；3）不同分支的交叉和融合；4）數(shù)學(xué)內(nèi)部的統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)家哈代認(rèn)為：數(shù)學(xué)家的活動(dòng)與藝術(shù)家的活動(dòng)很多是共同的、相像的。他說：“畫家進(jìn)行色彩與形態(tài)的組合，音樂家把音階組合起來，詩人組詞，數(shù)學(xué)家是把一定類型的概念組合起來”。因此，無論是藝術(shù)家還是數(shù)學(xué)家，他們做的工作都是組合，只是組合對(duì)象不同。數(shù)學(xué)家維納更認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是一門精美的藝術(shù)”。數(shù)學(xué)與詩歌有許多共性，下面歸納為八點(diǎn)。

首先，數(shù)學(xué)和詩歌的源泉都是自然和社會(huì)。宋代大詩人陸游告誡兒子說：“汝果欲學(xué)詩，功夫在詩外。”這個(gè)詩外是詩人對(duì)日常生活和大自然細(xì)致的觀察、體驗(yàn)、感知，這是詩歌創(chuàng)作的源泉。做數(shù)學(xué)研究也與詩歌創(chuàng)作類似。數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“對(duì)自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉。”丘成桐在一次公眾講演中說過，他的研究工作深受物理學(xué)和工程學(xué)的影響，這些科學(xué)提供了數(shù)學(xué)很重要的素材。他說：“沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構(gòu)，就能夠獲得深入的結(jié)果。”

第二，數(shù)學(xué)和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是所有文藝作品中最追求和諧與簡潔的。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發(fā)詩人的情懷，表達(dá)深邃的哲理。例如，蘇軾的詩句“不識(shí)廬山真面目,?只緣身在此山中”和劉禹錫的詩句“沉舟側(cè)畔千帆過，病樹前頭萬木春”雖然簡潔，但表達(dá)了很深的哲理。數(shù)學(xué)的和諧是不言而喻的，數(shù)學(xué)各個(gè)分支中公理化體系必須是和諧的。至于數(shù)學(xué)的簡潔，一方面數(shù)學(xué)結(jié)果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數(shù)學(xué)家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結(jié)論，或者力圖簡化已有結(jié)果的證明。

第三，數(shù)學(xué)中的“對(duì)偶”與詩詞中的“對(duì)仗”是異曲同工。詩詞中的“對(duì)仗”能使意境更加優(yōu)美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數(shù)學(xué)中的“對(duì)偶”使得數(shù)學(xué)理論變得更加深刻，更加優(yōu)美。數(shù)學(xué)中的“對(duì)偶”不只是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。

第四，數(shù)學(xué)和詩歌的創(chuàng)作都需要直覺和想象力。當(dāng)然，任何科學(xué)和藝術(shù)的創(chuàng)作都需要直覺和想象力，但數(shù)學(xué)和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數(shù)學(xué)史家克萊因說：“在預(yù)測能被證明的內(nèi)容時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想象。”所謂想象力，就是形象思維能力。形象思維能力取決于一個(gè)人的文化素質(zhì)高低。文化素質(zhì)高的人思路開闊，富于聯(lián)想，觸類旁通，從而形象思維能力就強(qiáng)。德國詩人歌德說：“只有通過藝術(shù)，尤其是通過詩，想象力才能得到激活。”?看來想象力更與一個(gè)人的藝術(shù)修養(yǎng)關(guān)系密切。愛因斯坦是小提琴的演奏高手，他曾經(jīng)坦言：“物理給我的知識(shí)，藝術(shù)給我想象力，知識(shí)是有限的，而藝術(shù)所開拓的想象力是無限的。”他有一句名言：“想象力比知識(shí)更重要”。

第五，詩歌創(chuàng)作和數(shù)學(xué)研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內(nèi)心情感宣泄出來，作品才能打動(dòng)人和感染人。對(duì)數(shù)學(xué)研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對(duì)美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識(shí)或潛意識(shí)的非邏輯式的創(chuàng)造性思維活動(dòng)。靈感是對(duì)某一問題長期思考以后突然產(chǎn)生的思想火花，有時(shí)產(chǎn)生于全神貫注思考問題之際，有時(shí)卻是在不經(jīng)意間或意識(shí)朦朧之中。靈感有時(shí)也來源于對(duì)不同現(xiàn)象的類比和聯(lián)想。例如，英國物理學(xué)家史考特·羅素有一天在河邊散步，觀察到從他身邊駛過的小木船卷起一股以單個(gè)波峰形式向前傳播的激浪，他受此啟發(fā)，后來提出了著名的“孤立波”理論。

第六，數(shù)學(xué)研究和詩歌創(chuàng)作都需要有美感。法國數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：“美感，對(duì)美觀與優(yōu)雅的感覺，在數(shù)學(xué)的成功中是一個(gè)重要的因素。”?他在《數(shù)學(xué)創(chuàng)造》一文中形象地描述了數(shù)學(xué)美感在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的作用，他說：“各種數(shù)學(xué)概念在潛意識(shí)里碰撞組合，數(shù)學(xué)直覺從中篩選有意義的組合，進(jìn)而進(jìn)行創(chuàng)造。……?潛意識(shí)做出選擇時(shí)，所用的標(biāo)準(zhǔn)便是數(shù)學(xué)的美感，數(shù)和形的和諧感，幾何學(xué)的雅致感。”數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造?的最主要驅(qū)動(dòng)力是對(duì)美的追求。”

第七，“創(chuàng)新”是數(shù)學(xué)和詩歌的共同美學(xué)準(zhǔn)則（即評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)）。藝術(shù)家把“創(chuàng)新”叫做“藝術(shù)風(fēng)格”。詩人由于生活經(jīng)歷、藝術(shù)修養(yǎng)、審美取向以及個(gè)性特征的不同，在作品的題材、表現(xiàn)手法、風(fēng)貌和藝術(shù)境界方面形成了獨(dú)特的藝術(shù)風(fēng)格。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風(fēng)格；杜甫的詩則“深沉蘊(yùn)蓄，抑揚(yáng)曲折”，是現(xiàn)實(shí)主義風(fēng)格。對(duì)數(shù)學(xué)研究而言，創(chuàng)新必須是在一定科學(xué)范圍內(nèi)有比較重要的意義。

最后，數(shù)學(xué)和詩歌的另一共同美學(xué)準(zhǔn)則就是王國維在《人間詞話》中所說的“境界為上”。數(shù)學(xué)的境界還包括學(xué)者選題的學(xué)術(shù)品位和問題的深度，而不在于論文里面用的技巧多高，技巧始終是第二位的。

下面舉幾個(gè)高境界的數(shù)學(xué)例子。首先是兩個(gè)美妙的數(shù)學(xué)公式。一是歐拉公式

它把數(shù)學(xué)里面最基本的幾個(gè)要素全都整合在一塊了，其中1是自然數(shù)的單位，0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，e是自然對(duì)數(shù)的底，

是圓周率，i是虛數(shù)單位。第二個(gè)歐拉公式

，公式表明：任何一個(gè)簡單凸多面體，它的頂點(diǎn)數(shù)V加上面數(shù)E，減去棱數(shù)F必定等于2。這兩個(gè)歐拉公式堪稱“大道至簡、大美天成”的數(shù)學(xué)公式。數(shù)論中的兩個(gè)著名猜想“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶數(shù)可以表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和）和“孿生數(shù)猜想”（存在無窮多對(duì)素?cái)?shù)其差等于2?）更是最高境界的數(shù)學(xué)，盡管它們都還沒有得到證明。又如龐加萊猜想，費(fèi)爾馬大定理，四色定理，Atiyah-Singer?指標(biāo)定理，伽羅瓦群論，黎曼幾何，黎曼假設(shè)，哥德爾不完備定理，香農(nóng)信息論，格羅滕迪克的代數(shù)幾何等都是最高境界的數(shù)學(xué)。

最后介紹一本高境界的堪稱“大美天成”的數(shù)學(xué)著作《Proofs from The Book》。本書收錄了40多個(gè)著名數(shù)學(xué)問題極富創(chuàng)造性和獨(dú)具匠心的證明。這是一本開闊數(shù)學(xué)視野和提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的著作。該書已被譯成十多種文字，有中譯本，第3版的書名是《數(shù)學(xué)天書的證明》，我覺得書名中有“天書”二字不妥。我曾向出版社建議把書名改為《數(shù)學(xué)天成之證》。后來出版社邀我為該書扉頁題詞，我寫下了“天成之證”。

作者注：本文是在作者的“數(shù)學(xué)如詩”（《科技導(dǎo)報(bào)》“卷首語”，2013年31卷上旬刊發(fā)表）一文的基礎(chǔ)上擴(kuò)充改寫成的。

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來源：科學(xué)網(wǎng)

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總結(jié)

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