2019年11月，美國普林斯頓大學出版社出版了美國歐柏林學院數學教授羅伯特·博施的著作OPT ART：From Mathematical Optimization to Visual Design（本文作者譯為“優化藝術：從數學優化到視覺設計”）。

書中有一幅圖，遠看是美國前總統奧巴馬的頭像，近看是無數白色塊嵌在黑色背景上。具體點說，這些白色塊是雙九多米諾骨牌上的白點。所謂“雙九”，是說每塊骨牌分成兩個區，每個區內有0到9個不等的白點，表示不同的數字。一套雙九多米諾骨牌有55張。奧巴馬的頭像是用44套骨牌（共2420張）拼出來的。必須巧妙地安放這些骨牌，才能使肉眼覺得這些深淺、明暗不同的色塊組成了有意義的圖像。

40年前，貝爾實驗室的計算機科學家兼藝術家Ken Knowlton（1931年生）首創將多米諾骨牌用作視覺表達的媒介。用骨牌創作奧巴馬頭像的則是本書作者博施，他大大提升了書呆子愛玩的骨牌拼圖游戲的層次。他的目標，不僅是用骨牌拼出一個與原圖很像的圖形，而且要求拼圖的光影模式與原圖密切匹配。本書介紹了優化圖形作品的概念，以及創作此類作品的計算工具。

例如，他用55×88的網格將奧巴馬頭像照片劃分為4840個方塊。原圖的灰度被壓縮為10個數值，0表示最暗，9表示最亮。然后，在每兩個相鄰方塊上放置一塊骨牌，使得每塊骨牌兩個區的各自點數與所覆蓋的相鄰方塊的灰度值盡可能對應。這里有很多說道，不僅要選擇合適的骨牌，還得知道按什么方向去置放骨牌。最后，每一方塊上都覆蓋了骨牌，44副骨牌的每一塊都確定了自己的位置。

怎么知道這2420塊骨牌安放得近乎完美呢？這是很難的。要知道，只用一副雙九多米諾骨牌，不同的安放方案之數量就大于10的73次方！博施采用線性規劃法來回答這個問題。在這里，“線性”意味著解空間里只有直線和平面，沒有曲線。

線性優化問題之解決工具所出自的環境與藝術是八竿子打不著的。從歷史上說，人們應用線性優化的領域主要是商業和經濟、物流、管理、軍事規劃等等。比如，航空公司可用線性規劃法來獲得飛機、航線和乘員人數之間的最優組合。化工廠可用線性規劃法來安排多種產品的生產，使得利潤最大。

博施讓我們認識到，有時候，藝術其實也是一種滿足限制條件的解題練習。他舉例說，點彩畫新印象主義代表畫家喬治·修拉在創作布面油畫《大碗島的星期天下午》時，就要完成這樣的任務：“對自己在河畔所見景象進行盡可能好的描繪，但要受限于兩條自己規定的嚴格條件：必須將各種色彩分開，必須將精準的小點畫在畫布上。”這一任務就有點像用多米諾骨牌來拼圖了。

博施平時講授的課目中就包括“優化”。在本書中，他提了一個問題：用數量有限的樂高積木塊，能搭出什么東西來？為回答此問題，他首先簡單介紹了一些基礎性數學知識；然后講解“每塊瓷磚覆蓋一個方塊”這樣的簡單馬賽克拼圖可用什么樣的優化程序來解決；接著，他再處理挑戰性較大的多米諾骨牌覆蓋問題。

本書還介紹了另一種數據優化型藝術作品：將若干散點用“一筆畫”式的連續線條勾連起來，并構成一幅圖形。這個問題與計算機科學中著名的“旅行推銷員”難題是同構的。

然后，博施又呈現了將優化程序施用于各種事物（紐結、馬在國際象棋棋盤上走過的位置、迷宮、施加進一步限制條件的瓷磚鋪嵌，等等）所生成的其他玄妙圖形。

總之，本書引導讀者領略了數學與藝術融合的美好風光。博施在數學和藝術上都傾注了同樣的熱情。在書里，藝術作品不單單是吸引讀者的噱頭，數學也不單單是生成藝術圖形的工具。二者都具有深刻的內在魅力。

本書不足之處在于，如果讀者想循著作者的思路親自動手探索一番優化藝術，卻不能在書中找到有效的指導。而且，作者采用的計算機軟件包Gurobi Optimizer只開放給在學術機構工作的人免費試用，一般讀者無法享用。

編輯?∑Gemini 來源：科學網博客·武夷山文章推薦?數學家探索兩個幾何世界之間的鏡像鏈接 ?數學天才帕吉特：他有如電影般的人生際遇?世界上最奇怪的數學天才，被獎勵100萬卻拒領，寧愿過得像乞丐?斯坦福大學教育學院院長：學習本身就是一門學問?如果沒有數學，我們如何測量?數學的真相：物理時空的數字模型還是現實本身？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的从数学优化到视觉设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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