hi，大家好，我是開發者FTD。今天我們來介紹一下非對稱加密算法的ECC算法。

ECC 算法簡介

ECC 是 Elliptic Curves Cryptography 的縮寫，意為橢圓曲線密碼編碼學。和RSA算法一樣，ECC算法也屬于公開密鑰算法。最初由 Koblitz 和 Miller 兩人于1985年提出，其數學基礎是利用橢圓曲線上的有理點構成Abel加法群上橢圓離散對數的計算困難性。

ECC 算法的數學理論非常深奧和復雜，在工程應用中比較難于實現，但它的單位安全強度相對較高，它的破譯或求解難度基本上是指數級的，黑客很難用通常使用的暴力破解的方法來破解。RSA算法的特點之一是數學原理相對簡單，在工程應用中比較易于實現，但它的單位安全強度相對較低。因此，ECC算法的可以用較少的計算能力提供比RSA加密算法更高的安全強度，有效地解決了“提高安全強度必須增加密鑰長度”的工程實現問題。

ECC 算法工作原理

近年來，人們對ECC的認識已經不再處于研究階段，開始逐步進入實際應用，如國家密碼管理局頒布的SM2算法就是基于ECC算法的。下面我們來認識一下ECC的工作原理。

密碼學中的橢圓曲線

定義

在有限域 Fp 中定義一個橢圓曲線，常用
$$y^2=x^3+ax+b$$
Fp 中只有p個元素，p為素數

Fp 中，
$$a+b\equiv c(modp)，a\times b\equiv c(modp)，a/b\equiv c(modp)$$

$$4a^3+27b^2=0(modp)$$

a，b是小于p的非負整數

x，y 屬于0到p-1間的證書，曲線標記為 Ep（a，b）

階：橢圓曲線上一點P，存在正整數n，使得nP=O∞，則n為P的階，若n不存在，則P是無限階的，有限域上定義的橢圓曲線上所有點的階都存在。

橢圓曲線難題

$$K=kG$$

其中K,G為Ep（a,b）上的點，k為小于n的整數，n是點G的階，給定k和G，計算K容易，但是給定K和G，求k就很難了！

因此，設K為公鑰，k為私鑰，G為基點。

ECC 算法加密過程

A選定一條橢圓曲線Ep（a,b），并取曲線上一點作為基點G

A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG

A將Ep（a,b）和k，G發送給B

B收到后將明文編碼到Ep（a,b）上一點M，并產生一個隨機數r

B計算點C1=M+rK，C2=rG

B將C1，C2傳給A

A計算C1-kC2=M+rkG-krG=M

A對M解碼得到明文

攻擊者只能得到Ep（a,b），G，K，C1，C2，沒有k就無法得到M。

ECC 算法簽名驗簽流程

A選定一條橢圓曲線Ep（a，b），并取曲線上一點作為基點G

A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG

A產生一個隨機數r，計算R(x,y)=rG

A計算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp)

A計算S=（Hash+M’k）/r(modp)

B獲得S和M’，Ep(a,b)，K，R(x,y)

B計算Hash=SHA(M)，M’=M(modp)

B計算R’=（Hash*G+M’K）/S=(HashG+M’*kG)*r/(Hash+M’k)=rG=R（x,y），若R’=R，則驗簽成功。

以上加解密和簽名驗簽流程只是一個例子，具體應用時可以利用K=kG這一特性變幻出多種加解密方式。

ECC 算法實現

定義橢圓曲線上的點(x,y)：

class Pare {long x;long y;public Pare() {super();}public Pare(long x, long y) {super();this.x = x;this.y = y;}//加法public Pare add(Pare pare) {if (this.x == Integer.MAX_VALUE) {//為無窮大時O+P=Preturn pare;}Pare res = new Pare();if (this.y == pare.y && this.x == pare.x) {//相等時long d = moddivision(3 * this.x * this.x + EccUtil.e.a, EccUtil.e.p, 2 * this.y);res.x = d * d - 2 * this.x;res.x = mod(res.x, EccUtil.e.p);res.y = d * (this.x - res.x) - this.y;res.y = mod(res.y, EccUtil.e.p);} else if (pare.x - this.x != 0) {long d = moddivision(pare.y - this.y, EccUtil.e.p, pare.x - this.x);res.x = d * d - this.x - pare.x;res.x = mod(res.x, EccUtil.e.p);res.y = d * (this.x - res.x) - this.y;res.y = mod(res.y, EccUtil.e.p);} else {//P Q互逆,返回無窮大res.x = Integer.MAX_VALUE;res.y = Integer.MAX_VALUE;}return res;}//減法public Pare less(Pare p) {p.y *= -1;return add(p);}//乘法public Pare multiply(long num) {Pare p = new Pare(this.x, this.y);for (long i = 1; i < num; i++) {p = p.add(this);}return p;}//求余,解決負號問題public long mod(long a, long b) {a = a % b;while (a < 0) {a += b;}return a;}//求余取商(a mod b)/c/*public long moddivision(long a, long b, long c) {a = mod(a,b);while(a%c != 0) {a += b;}a = a/c;return a;}*/public long moddivision(long a, long b, long c) {a = mod(a, b);c = mod(c, b);a = a * EccMath.exgcd(c, b);return mod(a, b);}@Overridepublic String toString() {return EccTools.obox(EccTools.long2hexStr(this.x), 4) + " " + EccTools.obox(EccTools.long2hexStr(this.y), 4);} }

加密：

//加密 public Message encryption(Pare g, Pare pbk, Pare word) {pbk = g.multiply(privatekey);//公鑰int d = new Random().nextInt(1024);//隨機數Pare dg = g.multiply(d);Pare dp = pbk.multiply(d);Pare send = word.add(dp);return new Message(dg, send); }

解密：

//解密 public Pare decryption(Message m) {Pare pab = m.pa.multiply(this.privatekey);Pare result = m.pb.less(pab);return result; }

查看完整代碼請訪問：

https://github.com/ForTheDevelopers/JavaSecurity

ECC 算法優勢：

• 更適合于移動互聯網：ECC 加密算法的密鑰長度很短(256位)，意味著占用更少的存儲空間，更低的CPU開銷和占用更少的帶寬。目前手機已經越來越普及，隨著越來越多的用戶使用移動設備來完成各種網上活動，ECC 加密算法為移動互聯網安全提供更好的客戶體驗。

• 更好的安全性：ECC 加密算法提供更強的保護，比目前的其他加密算法能更好的防止攻擊，使你的網站和基礎設施比用傳統的加密方法更安全，為移動互聯網安全提供更好的保障。

• 更好的性能： ECC 加密算法可以用較短的密鑰長度來提供更好的安全。例如，256 位的 ECC 密鑰加密強度等同于 3072 位 RSA 密鑰的水平(目前普通使用的 RSA 密鑰長度是 2048 位)。其結果是你以更低的計算能力代價得到了更高的安全性。經國外有關權威機構測試，在 Apache 和 IIS 服務器采用 ECC 算法，Web服務器響應時間比 RSA 快十幾倍。

• 更大的IT投資回報：ECC 可幫助保護您的基礎設施的投資，提供更高的安全性，并快速處理爆炸增長的移動設備的安全連接。 ECC 的密鑰長度增加速度比其他的加密方法都慢(一般按 128 位增長，而 RSA則是倍數增長，如：1024 – 2048 - 4096)，將延長您現有硬件的使用壽命，讓您的投資帶來更大的回報。

總結

由于ECC加密算法在安全性、實現代價和應用效率上較RSA算法都有明顯的優勢，目前已經被多家國際標準組織所接受，ECC加密算法替代RSA加密算法，成為行業或組織的公鑰密碼標準的趨勢已經形成，并已有國家(美國、日本、韓國和歐洲一些國家)在國家密碼標準中采用了ECC算法體系。我國的國密算法SM2就是基于ECC算法的。

本文初步介紹了ECC算法的基本原理和實現步驟，由于本人水平有限，如有紕漏，還請指正。

參考

1，ECC算法介紹

2，解讀ECC加密算法

關于作者

• GitHub：https://github.com/ForTheDevelopers

• 掘金：https://juejin.cn/user/1204720472953022/posts

• CSDN：https://blog.csdn.net/ForTheDevelopers

• segmentfault：https://segmentfault.com/u/for_the_developers

聯系作者

• 微信號：ForTheDeveloper

• 公眾號：ForTheDevelopers

總結

以上是生活随笔為你收集整理的奇妙的安全旅行之ECC算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。