原標(biāo)題：聽(tīng)說(shuō)過(guò)“韓信點(diǎn)兵”的故事嗎？

不知道大家小時(shí)候有沒(méi)有聽(tīng)過(guò)一首歌謠：

“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花二十一，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。”

實(shí)際上這個(gè)歌謠是一個(gè)古老數(shù)學(xué)題的解法。

韓信點(diǎn)兵

在數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中，有許多著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中最有名的是“雞兔同籠”問(wèn)題。除此之外，另一個(gè)流傳很廣的經(jīng)典問(wèn)題，被后人稱為“物不知數(shù)”問(wèn)題：

“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？”

意思是說(shuō)：有一堆物體不知道有幾個(gè)。如果三個(gè)三個(gè)分組，最后會(huì)剩下2個(gè)；如果五個(gè)五個(gè)分組，最后會(huì)剩下3個(gè)；如果七個(gè)七個(gè)分組，最后會(huì)剩下2個(gè)。問(wèn)這些物體一共有幾個(gè)？

后來(lái)，人們?yōu)榱俗屵@個(gè)問(wèn)題更具體化，就把它改編成“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題。

有一次戰(zhàn)斗后，韓信要清點(diǎn)士兵的人數(shù)。讓士兵三人一組，就有兩人沒(méi)法編組；五人一組，就有三人無(wú)法編組；七人一組，就有兩人無(wú)法編組。那么請(qǐng)問(wèn)這些士兵一共有幾人？

宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中對(duì)這個(gè)問(wèn)題做出了完整系統(tǒng)的解答。明朝數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中將解法編成易于上口的《孫子歌訣》，就是文初的那首歌謠。

同余

現(xiàn)在我們一起來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先我們來(lái)了解一下同余的概念。a和b關(guān)于c同余，意思是說(shuō)a除以c和b除以c的余數(shù)相同。例如：8÷5=1余3，3÷5=0余3，所以8和3關(guān)于5同余，寫(xiě)作8≡3（mod 5），其中mod讀作“模”。而且，由于3小于5，所以3本身就是3除以5的余數(shù)，因此8≡3（mod 5）也可以理解為8除以5的余數(shù)是3。

這樣，韓信點(diǎn)兵問(wèn)題就可以表示為數(shù)學(xué)語(yǔ)言了。有一個(gè)數(shù)字x，除以3余2，除以5余3，除以7余2， 那么這個(gè)數(shù)字是多少？數(shù)學(xué)寫(xiě)法是

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，最基本的解法是窮舉法，就是把滿足每個(gè)條件的數(shù)字寫(xiě)出來(lái)，然后找到相同的數(shù)字。

除以3余數(shù)是2的數(shù)字有：2、5、8、11、14、17、20、23、26…

除以5余數(shù)是3 的數(shù)字有：3、8、13、18、23、28…

除以7余數(shù)是2的數(shù)字有：2、9、16、23、30…

我們發(fā)現(xiàn)，滿足三個(gè)條件的第一個(gè)數(shù)字是23。所以23是這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)解。

但是，這個(gè)問(wèn)題的解并不是唯一的。3、5、7彼此互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是105。也就是說(shuō)，105除以3、除以5或者除以7都沒(méi)有余數(shù)。如果一個(gè)數(shù)字x是滿足要求的，那么在x上加上幾個(gè)105都不會(huì)改變它對(duì)3、5、7的余數(shù)。比如，23是滿足要求的，那么23+105=128也是滿足要求的，23+210=233也是滿足要求的。

所以這個(gè)問(wèn)題最后的解就是23+105n，其中n=0，1，2，3…

歌謠

那么，程大位在《算法統(tǒng)宗》中的歌謠又是什么意思呢？其實(shí)這個(gè)口訣是一個(gè)快速的算法，那就是：

三人同行七十稀：將除以3的余數(shù)乘以70；

五樹(shù)梅花二十一：將除以5的余數(shù)乘以21；

七子團(tuán)圓正半月：將除以7的余數(shù)乘以15（半個(gè)月）；

除百零五便得知：將以上三個(gè)數(shù)字相加，最后減去幾個(gè)105。

例如在“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題中，除以3的余數(shù)是2，除以5的余數(shù)是3，除以7的余數(shù)是2，那么前三句話就是70×2+21×3+15×2=233，233減去105等于128，128減去105=23，那么23、128、233等就都是這個(gè)問(wèn)題的答案。

這個(gè)口訣的證明其實(shí)也并不難：

70這個(gè)數(shù)字是5和7的倍數(shù)，并且除以3余1，也就是說(shuō)，任何一個(gè)數(shù)添加一個(gè)70之后，不會(huì)改變除以5和7的余數(shù)，但是會(huì)在除以3的余數(shù)中多1。這樣如果所求的數(shù)字除以3余2，就應(yīng)該包含2個(gè)70，即70×2。

21這個(gè)數(shù)字是3和7的倍數(shù)，并且除以5余1， 也就是說(shuō)，任何一個(gè)數(shù)添加了一個(gè)21之后不會(huì)改變除以3和7的余數(shù)，但是會(huì)在除以5的余數(shù)中多1。這樣如果所求的數(shù)字除以5余3， 就應(yīng)該包含3個(gè)21，即21×3。

15這個(gè)數(shù)字是3和5的倍數(shù)，并且除以7余1， 也就是說(shuō)，任何一個(gè)數(shù)添加了一個(gè)15之后不會(huì)改變除以3和5的余數(shù)，但是會(huì)在除以7的余數(shù)中多1。這樣如果所求的數(shù)字除以7余2， 就應(yīng)該包含2個(gè)15，即15×2。

將以上三個(gè)數(shù)字相加得到233，就可以得到一個(gè)滿足條件：除以3余2，除以5余3，除以7余2的數(shù)字。

105這個(gè)數(shù)字是3、5、7的公倍數(shù)，因此一個(gè)數(shù)字加上或者減去105之后，不會(huì)改變除以3、5、7的余數(shù)，因此在剛才得到的233上添加或者減去幾個(gè)105，都是問(wèn)題的解。

最終，通過(guò)口訣我們還是可以得到通解：23+105n，其中n=0，1，2，3…

中國(guó)剩余定理

余數(shù)問(wèn)題是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是計(jì)算機(jī)密碼學(xué)的基石之一。世界著名的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人，都曾經(jīng)研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題。中國(guó)古代的先賢在這方面取得了豐碩的成果。“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題只是一個(gè)例子，這樣的問(wèn)題有更加普遍和系統(tǒng)化的表示方法。而這個(gè)方法，就被世界稱為“中國(guó)剩余定理”，是我國(guó)為數(shù)不多的獲得世界公認(rèn)的古代數(shù)學(xué)成就之一。

責(zé)任編輯：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的原创：听说过“韩信点兵”的故事吗？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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