01 向量空間

1.1定義和例子

1.2向量及其運(yùn)算

1.3向量組的線性組合

1.4向量組的線性相關(guān)性

02 內(nèi)積和范數(shù)

2.1內(nèi)積的定義

2.2范數(shù)的定義

2.3內(nèi)積的幾何解釋

03矩陣和線性變換

3.1定義和例子

3.2線性變換

線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱為線性變換。線性空間中的一個(gè)向量變成另一個(gè)同量，都可以通過(guò)一個(gè)線性變換來(lái)完成。

線性變換也可以對(duì)空間中所有的向量進(jìn)行，比如把二維空間中的所有向量想象成填滿空間的點(diǎn)：


下面哪個(gè)空間里的變換屬于線性變換呢？第4張圖，即右下角的圖片
線性變換需要滿足兩點(diǎn)：

坐標(biāo)原點(diǎn)不發(fā)生改變

箭頭的形狀不發(fā)生改變，即不被彎曲

總的來(lái)說(shuō)，空間中的變換如果滿足“空間中網(wǎng)格線保持平行而且等距分布，原點(diǎn)保持不變”，那這種變換就叫線性變換。

3.3線性變換的數(shù)值描述——矩陣

在一個(gè)線性空間中，選定一組基向量，將變換之后的基向量的數(shù)值列表放在一個(gè)矩陣?yán)?#xff0c;那么這個(gè)矩陣就可以代表這個(gè)線性變換。

例子：

3.4矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法和矩許的數(shù)乘留給大家思考。
矩陣和向量的乘法，木質(zhì)上是對(duì)向量在空間上進(jìn)行線性變換：

3.5矩陣的轉(zhuǎn)置

3.6矩陣的行列式

3.7逆矩陣

3.8求解線性方程組

04 特征值和特征向量

4.1定義和例子

幾何上
特征向量就是線性變換后還留在原來(lái)直線上的向量；特征值就是特征向量的縮放系數(shù)。

特征值、特征向量的意義：


由上圖可知，可以通過(guò)特征值和特征向量直接知道這個(gè)矩陣在經(jīng)過(guò)線性變換后是什么樣子的

有一類非常特殊的矩陣—對(duì)角矩陣，這個(gè)矩陣?yán)锏拿恳粋€(gè)列向量都是特征向量，特征值就是對(duì)角線上的值：

4.2對(duì)稱矩陣和正定矩陣

4.3相似矩陣和對(duì)角化

05二次型

5.1定義和例子

06 本章要點(diǎn)總結(jié)

向量空間是定義了加法和數(shù)乘這兩種運(yùn)算的集合卡

范數(shù)定義了向量空間中的距離，內(nèi)積定義了向量空間里的角度

線性變換描述了向量在空間里的變化·矩陣就是空間中線性變換的數(shù)值表示

矩陣的行列式代表矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換后的面積（二維實(shí)數(shù)空間中）

逆矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣在空間里變換的反運(yùn)動(dòng)

矩陣的特征值和特征向量描述了線性變換的速度和方向

線代里的二次型，就是通過(guò)一個(gè)對(duì)稱矩陣，去研究某個(gè)二次型。

07 推薦資料

《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》高等教育出版社

線性代數(shù)的本質(zhì)《中文字幕》

公眾號(hào)《馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)》里有關(guān)線性代數(shù)的文章

《理解矩陣》by孟巖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一、人工智能数学基础——线性代数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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