知識點

三角函數誘導公式
和差倍角公式
基本的三角恒等變換
正弦定理基本應用
余弦定理基本應用
射影定理

注意事項

這兩章涉及的公式較多, 注意公式的運用以及代入運算不要出錯, 尤其是不要漏各種\(\frac{1}{2}\)

勿忘分類討論

一些較為陌生的公式和構造

三角函數開根 注意不要漏\(\frac{1}{2}\) \[\sqrt{1 \pm \sin \alpha} = \sqrt{\left( \sin \frac{a}{2} \pm \cos \frac{a}{2} \right)^2}\] \[\sqrt{1 + \cos \alpha} = \sqrt{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}\] \[\sqrt{1 - \cos \alpha} = \sqrt{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}\]

三角函數降冪 \[\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)\] \[\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)\] \[\tan^2 \alpha = \frac{1 - 2 \cos \alpha}{1 + 2 \cos \alpha}\]

正弦與余弦相乘的降冪 \[\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha\]

正弦相減或余弦相減(重要): 我們令\[\omega = \frac{\alpha + \beta}{2}, \phi = \frac{\alpha - \beta}{2}\] 則有 \[\cos \alpha - \cos \beta = 2 \sin \omega \cdot \sin \phi\] \[\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \omega \cdot \sin \phi\]

\(\tan \alpha\)與\(\sin 2 \alpha\), \(cos 2 \alpha\)的相互轉化 \[\tan^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{1 + \cos 2 \alpha}\] \[\sin 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}\] \[\cos 2 \alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}\] 第一個公式的證明略; 后兩個公式的證明: 等式左邊除以\(1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\), 得到\[\sin 2\alpha = \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}\] \[\cos 2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha - \sin2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}\]

在一個三角形中, \[\sin(A + B) = \sin(C)\]

三角形面積公式有\[S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}\] 證明: 根據正弦定理, 有 \[S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot b \cdot c}{2R} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}\]

射影定理: 在\(\triangle ABC\)中, \[b = a \cos C + c \cos A\] 證明: 正弦定理, 略.

轉載于:https://www.cnblogs.com/Zeonfai/p/6805448.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于三角恒等变换与正余弦定理的学习总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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