證明|A||B|=|AB|

引理

1.下三角和上三角行列式的值等于對(duì)角線元素之積
2.任一方形行列式都可以通過(guò)行列倍加的操作轉(zhuǎn)化為下三角行列式或者上三角形式且維持值不變。
3.由1和2可以推出下式：
$$\left|\begin{array}{cc}{A}_{k\times k}& C_{k\times n}\\ 0& B_{n\times n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_{k\times k}& 0\\ C_{k\times n}& B_{n\times n}\end{array}\right|=|A_{k\times k}||B_{n\times n}|$$

證明

設(shè)兩個(gè)n階方陣$A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})$。記2n階行列式
$$D=\left|\begin{array}{cc}{A}_{n\times n}& 0\\ ?E_{n\times n}& B_{n\times n}\end{array}\right|=|A||B|$$
對(duì)D用行列倍加的操作消去右下角的B，便得到
$$D=\left|\begin{array}{cc}{A}_{n\times n}& C_{n\times n}\\ ?E_{n\times n}& 0\end{array}\right|=(?1{)}^n|?E||C|=|C|$$
其中可以得知C=AB.

因此有|A||B|=|AB|

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的行列式，证明|A||B|=|AB|的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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