隨機信號及其自相關函數和功率譜密度的MATLAB實現(xiàn)

引言：

現(xiàn)代信號分析中，對于常見的具有各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機信號，不可能用清楚的數學關系式來描述，但可以利用給定的N個樣本數據估計一個平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度叫做功率譜估計(PSD)。它是數字信號處理的重要研究內容之一。功率譜估計可以分為經典功率譜估計(非參數估計)和現(xiàn)代功率譜估計(參數估計)。通過實驗仿真可以直觀地看出以下特性:(1)功率譜估計中的相關函數法和周期圖法所得到的結果是一致的，其特點是離散性大，曲線粗糙，方差較大，但是分辨率較高。(2)平均周期圖法和平滑平均周期圖法的收斂性較好，曲線平滑，估計的結果方差較小，但是功率譜主瓣較寬，分辨率低。這是由于對隨機序列的分段處理引起了長度有限所帶來的Gibbs現(xiàn)象而造成的。(3)平滑平均周期圖法與平均周期圖法相比，譜估值比較平滑，但是分辨率較差。其原因是給每一段序列用適當的窗口函數加權后，在得到平滑的估計結果的同時，使功率譜的主瓣變寬，因此分辨率有所下降。

摘要：

功率譜估計(PSD)的功率譜,來講都是重要的,是數字信號處理的重要研究內容之一。功率譜估計可以分為經典譜估計(非參數估計)和現(xiàn)代譜估計(參數估計)。前者的主要方法有BTPSD估計法和周期圖法;后者的主要方法有最大熵譜分析法(AR模型法)、Pisarenko諧波分解法、Prony提取極點法、其Prony譜線分解法以及Capon最大似然法。中周期圖法和AR模型法是用得較多且最具代表性的方法。

Matlab是目前極為流行的工程數學分析軟件,在它的SignalProcessingToolbox中也對這兩個方法提供了相應的工具函數,這為我們進行工程設計分析、理論學習提供了相當便捷的途徑。

關鍵詞：

隨機信號 自相關系數 功率譜密度

實驗原理:

隨機信號X(t)是一個隨時間變化的隨機變量，將X(t)離散化，即以Ts對X(t)進行等間隔抽樣，得到隨機序列X(nTs),簡化為X(n)。在實際工作中，對隨機信號的描述主要是使用一、二階的數字特征。如果X(n)的均值與時間n無關，其自相關函數Rx(n1,n2)與n1,n2的選取無關，而是依賴于n1,n2之差，即：

即稱X(n)為寬平穩(wěn)隨機序列。寬平穩(wěn)隨機信號是一類重要的隨機信號，實際中的大部分隨機信號都可以認為是寬平穩(wěn)的。

對一平穩(wěn)序列X(n),如果它的所有樣本函數在某一固定時刻的一、二階特性和單一樣本函數在長時間內的統(tǒng)計特性一致，則稱X(n)為各態(tài)歷經序列。對于各態(tài)歷經序列，可像確定性的功率信號那樣定義一、二數字特征。

設X(n)是各臺歷經序列X(n)的一個函數，對X(n)數字特征可重新定義如下：

均值：

自相關函數：

自協(xié)方差函數：

具有各態(tài)歷經的隨機信號，由于能夠使用單一的樣本函數做時間平均，以求得均值和自相關函數，所以在分析和處理信號時比較方便。在實際工作中，往往先假定信號是平穩(wěn)的，假定它是各態(tài)歷經的。在此，我們不加說明地認為所討論的信號都是平穩(wěn)的和各態(tài)歷經的，并將隨機序列X(n)改為x(n)。

隨機序列的功率譜密度定義為：

功率譜密度反映了信號的功率隨頻率的分布，在信號處理中占有重要的地位。然而，實際中由該定義式幾乎不可能得到信號的真是功率譜密度，因此只能用所得到的有限長數據予以估計。

實驗任務

編制MATLAB通用程序，估計一任意指定截止頻率的高斯帶通白噪聲的自相關函數、自協(xié)方差函數以及功率譜密度。要求將圖形窗口分割成4塊，分別顯示帶通白噪聲的時域信號以及自相關函數、協(xié)方差函數和功率譜密度函數曲線，并將所有圖像添加柵格線和標題。

任務程序：

a=randn(2000,1);

wc=[0.45,0.65];N=79;window=blackman(N+1);

h=fir1(N,wc,window);

x=filter(h,1,a);

subplot(2,2,1),plot(x),title('時域信號'),grid on

[c,n]=xcorr(x,10,'coeff');

subplot(2,2,2),stem(n,c,'filled'),title('自相關函數'),grid on

[b,m]=xcov(x,10,'coeff');

subplot(2,2,3),stem(m,b,'filled'),title('協(xié)方差函數'),grid on

subplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,[],500),title('概率密度函數'),grid on

波形如圖：

實驗總結：

通過這次學習，我知道了功率譜估計的實現(xiàn)有許多方法,也有很多具體的算法可以參閱。比如用rand和randn函數產生白噪聲序列，還有用MATLAB語言產生隨機信號和估計隨機信號的自相關函數和功率譜密度，還

總結

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