11 抽象向量空間

【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com

再來討論一下“什么是向量？”。二維平面內它是一個箭頭，也是一個數組。但這兩者只是某種更深刻的東西的表象。將向量表現為數組，給了高維空間更容易的理解方式，使得高維向量看上去像是一個可操作的真實具體的概念。

但是對于處理空間的人來說，坐標與選取的基向量相關。而現在一些核心內容如行列式、特征向量等，它們不受所選坐標的影響。行列式是一個變換對面積的縮放比例，特征向量則是在變換中留在它所張成空間中的向量，兩者都暗含于空間中的性質，改變坐標系并不會改變他們最根本的值。

如果向量根本不是一個數組，他們的本質其實更具空間性。那么數學家所說的空間或空間性究竟是什么呢？

今天的課程將討論一種既不是箭頭也不是一組數字，但是同樣具有向量特性的東西——函數。從某種意義上說，函數實際上是另一種向量。

函數可進行加和與數乘運算，而因為向量也不過只有相加和數乘兩種運算，所以最初以空間中箭頭為背景來建立的線性代數的合理概念和解決問題的手段，例如：線性變換，列空間、點積、特征值、特征向量等，應該能夠直接應用于函數。

函數作為線性變換有一個完全合理的解釋。這個變換接收一個函數，把它變成另一個函數。可以找到一個常見的例子，導數。

有時你聽到的是“算子”而不是“變換”，他們意思相同。一個函數變換是線性的，需要滿足以下兩條性質。

即線性變換保持向量加法運算和數乘運算。

前面課程所討論過的網格線保持平行且等距分布的概念，只是線性在二維空間這一特殊情況下的體現。

求導就是一種線性運算，他符合以上兩個條件。

為了掌握這里的類比關系，來看一下矩陣描述求導是什么樣子。我們的空間是全體多項式。首先要做的是給這個空間賦予坐標的含義，這是要選取基，很自然的就選取x的方冪（

）作為基函數，這個基函數集是無窮大的。

每個多項式的坐標就是有現成的一串系數再加上無限長的一串0。

在這個坐標系中，求導是用一個無限矩陣來描述的。其中絕大部分是0，而上對角線上按序列排布的正整數。這個矩陣是對每個基函數求導后，代入作為列向量得到的。

求導過程：

乍一看矩陣向量乘法和求導是毫不相干的。但它們其實屬于同一族概念。很多線性代數中的概念，在函數中都有直接類比。

數學中有很多類似向量的事物。只要所處理對象，具有合理的數乘和加和概念，不管是空間中的箭頭、一組數還是函數集合，線性代數中所有關于向量、線性變換和其他的概念都應該適用于它。這些類似向量的事物，它們構成的集合被稱為向量空間。

如果要讓已經建立好的線代理論和概念適用于一個空間，那么必須滿足8條公理。這8條公理保證新定義的向量，其加法和數乘符合你一直接受的狀態。

在新定義的向量空間中應用線性代數的結論之前，需要驗證它的定義是否滿足以上要求。

在數學的表達中，我們傾向于得到用普適的概念，而普適的代價就是抽象。

總結

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