文章目錄

• 1 基礎(chǔ)
• • 1.1 李群
  • 1.2 李代數(shù)來源
  • 1.3 李代數(shù)

1 基礎(chǔ)

三維旋轉(zhuǎn)構(gòu)成了特殊正交群$SO(3)$，三維剛體變換構(gòu)成了特殊歐氏群$SE(3)$，如下所示：
$$\begin{gathered} SO(3)=\left\{R\in {\mathbb{R}}^{3?3}|R{R}^T=I,det(R)=1\right\} \\ SE(3)=\left\{T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{4?4}|R\in SO(3),t\in {\mathbb{R}}^3\right\} \end{gathered}$$

1.1 李群

群是一種幾何加上一種運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，集合A，運算$?$，那么群可以記作$G=(A,?)$，同時滿足"封結(jié)幺逆"四則性質(zhì)。
$$\begin{gathered} ?a_1,a_2\in A,a_1?a_2\in A \\ ?a_1,a_2,a_3\in A,(a_1?a_2)?a_3=a_1?(a_2?a_3) \\ ?a_0\in A,s.t.?a\in A,a_0?a=a?a_0=a \\ ?a\in A,?a^{?1}\in A,s.t.a?a^{?1}=a_0 \end{gathered}$$
李群是指具有連續(xù)光滑性質(zhì)的群，像整數(shù)集合$\mathbb{Z}$這樣離散群就沒有連續(xù)性質(zhì)，所以不是李群。

1.2 李代數(shù)來源

李代數(shù)的引出，推導(dǎo)如下：
$$\begin{gathered} R(t)R(t{)}^T=I \\ \dot{R(t)}R(t{)}^T+R(t)\dot{R(t{)}^T}=0 \\ \dot{R(t)}R(t{)}^T=?(R(t)\dot{R(t{)}^T})=?(\dot{R(t)}R(t{)}^T{)}^T \end{gathered}$$
由反對稱矩陣的性質(zhì)可得：
$$\begin{gathered} \dot{R(t)}R(t{)}^T=?(t{)}^{\wedge } \\ \dot{R(t)}=?(t{)}^{\wedge }R(t) \end{gathered}$$
對旋轉(zhuǎn)矩陣進行一階泰勒展開得：
$$R(t)=R(t_0)+\dot{R(t_0)}(t?t_0)$$
設(shè)初始時刻沒有發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣，同時可見$?$ 對于R的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，故稱它在李群原點附近的正切空間上：
$$\begin{gathered} R(t)=I+?(t{)}^{\wedge }I?(t?0) \\ =I+?(t{)}^{\wedge }?t \end{gathered}$$
假設(shè)$?(t_0)={?}_0$，有：
$$\begin{gathered} \dot{R(t)}={?}_0^{\wedge }R(t) \\ R(0)=I \end{gathered}$$
根據(jù)一階線性微分方程求解，可解微分方程得到：
$$\begin{gathered} \dot{y}+P(x)y=Q(x) \\ y=e^{?\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C] \\ R(t)=e^{{?}_0^{\wedge }t} \end{gathered}$$

1.3 李代數(shù)

每個李群都有與之對應(yīng)的李代數(shù)，李代數(shù)描述了李群的局部性質(zhì)，即單位元附近的正切空間。李代數(shù)由一個集合$\mathbb{V}$、一個數(shù)域$\mathbb{F}$和一個二元運算符$[,]$，統(tǒng)稱$g(\mathbb{V},\mathbb{F},[,])$，且滿足以下性質(zhì)：
$$\begin{gathered} ?X,Y\in \mathbb{V},[X,Y]\in \mathbb{V} \\ ?X,Y,Z\in \mathbb{V},a,b\in \mathbb{F},[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y] \\ ?X\in \mathbb{V},[X,X]=0 \\ ?X,Y,Z\in \mathbb{V},[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0 \end{gathered}$$
其中的二元運算稱為李括號。三維向量${\mathbb{R}}^3$上定義的叉積${}^{\wedge }$就是一種李括號，因此$g=({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R}{,}^{\wedge })$構(gòu)成了一種李代數(shù)。

對李代數(shù)$so(3)$而言，定義如下：
s o ( 3 ) = { ? ∈ R 3 , Φ = ? ∧ ∈ R 3 ? 3 } Φ = ? ∧ = [ 0 ? ? 3 ? 2 ? 3 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 1 0 ] ∈ R 3 ? 3 so(3) = \left\{ \phi \in \mathbb{R}^{3}, \Phi = \phi^{\land} \in \mathbb{R}^{3*3} \right\} \\ \Phi = \phi^{\land} = \begin{bmatrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3*3} so(3)={?∈R3,Φ=?∧∈R3?3}Φ=?∧= ?0?3???2????3?0?1???2???1?0? ?∈R3?3

兩個向量的李括號計算為：
$$[{?}_1,{?}_2]=({\Phi }_1{\Phi }_2?{\Phi }_2{\Phi }_1{)}^{\vee }$$
對于李代數(shù)$se(3)$而言，定義如下：
$$se(3)=\left\{?=\left[\begin{array}{c}\rho \\ ?\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^6,\rho \in {\mathbb{R}}^3,?\in so(3),{?}^{\wedge }=\left[\begin{array}{cc}{?}^{\wedge }& \rho \\ 0^T& 0\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{4?4}\right\}$$
對應(yīng)的李括號與$so(3)$相似，
$$[{?}_1,{?}_2]=({?}_1^{\wedge }{?}_2^{\wedge }?{?}_2^{\wedge }{?}_1^{\wedge }{)}^{\vee }$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的李群李代数（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。