2019-03-11

函數是什么？

三、函數的定義

定義 設 與 是某一過程中的兩個變量,如果當變量 在變化范圍 中任取一個數值時,變量 按照一定的對應規則,總有確定的數值和它相對應,則稱變量 為變量 的函數,記作 ,其中 稱為自變量, 稱為因變量, 稱為對應法則。

函數 當 時的函數值，記作 或 。

自變量 的變化范圍 稱為函數的定義域, 函數 取值的全體稱為函數的值域。

如，圓的面積 與它的半徑 之間的關系由公式 給定, 面積 與它的半徑 都是變量,當半徑 在區間 內任意取定一個數值時,由 就確定一個相應的圓面積 的數值,因此面積 是它的半徑 的函數。

又...全部

三、函數的定義

定義 設 與 是某一過程中的兩個變量,如果當變量 在變化范圍 中任取一個數值時,變量 按照一定的對應規則,總有確定的數值和它相對應,則稱變量 為變量 的函數,記作 ,其中 稱為自變量, 稱為因變量, 稱為對應法則。

函數 當 時的函數值，記作 或 。

自變量 的變化范圍 稱為函數的定義域, 函數 取值的全體稱為函數的值域。

如，圓的面積 與它的半徑 之間的關系由公式 給定, 面積 與它的半徑 都是變量,當半徑 在區間 內任意取定一個數值時,由 就確定一個相應的圓面積 的數值,因此面積 是它的半徑 的函數。

又如， 中 都是變量,當變量 在區間 內任意取定一個數值時,變量 有兩個確定的值與 對應, 因此變量 是變量 的函數。

關于函數的定義做以下說明:

1。

符號“ ”的意義

符號“ ”表示自變量 與函數 的某種對應規則。

例如 ,它的對應法則“ ”就是自變量的平方乘以2減去自變量的3倍加上1,不妨簡化為 。

如，當 時,對應的函數值為 ;

同樣當 時,對應的函數值為 。

2。單值函數和多值函數

如果函數 對定義域內任一自變量的值都只有一個確定的值與之對應,這個函數就稱為單值函數,如果有兩個或更多的值與之對應,就稱為多值函數。

如舉例中的 為單值函數, 為多值函數。

以后談到的函數如無特別說明都是指單值函數。

3。確定函數的兩個要素——定義域、對應法則。

所謂兩個函數相同，是指它們的定義域和對應法則均相同。

如， 函數 與 不是相同的兩個函數。

事實上 的定義域為: ,

的定義域為: ,

由于兩個函數的定義域不同,所以兩個函數不相同。

又如，函數 與 是相同的函數。

事實上， 的定義域為: ,對應法則為: ,

的定義域為: ,對應法則為: 。

由于兩個函數的定義域和對應法則都相同,只是自變量和因變量所選字母不同,所以兩個函數相同。

在求函數定義域時,常常遇到下面幾種情況:

(1) 若函數 是多項式,則定義域為一切實數;

(2) 若函數 是分式函數,則要求分式的分母的表達式不為零。

(3) 若函數 是偶次根式函數,則要求偶次根號下的表達式非負。

(4) 若函數 是對數函數, 則要求對數中的真數表達式大于零。

(5) 若函數 是由幾部分代數式組成,則定義域是使這幾部分代數式都有意義的 值的全體。

例1 求 的定義域。

分析 由對數中的真數表達式大于零知， ,

由根式中的偶次根號下的表達式非負知， ,

由分式分母的表達式不為零知， ,

聯立求解即可。

解 應使 ， 即 。 所以 ， 故定義域為: 。 。收起

總結

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