Gram定義

n維歐式空間中任意k個向量之間兩兩的內積所組成的矩陣，稱為這k個向量的格拉姆矩陣(Gram matrix)

根據(jù)定義可以看到，每個Gram矩陣背后都有一組向量，Gram矩陣就是由這一組向量兩兩內積得到的，先說一下向量內積是做什么的。

向量的內積,也叫向量的點乘，對兩個向量執(zhí)行內積運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之后求和的操作，內積的結果是一個標量。例如對于向量a和向量b：

a和b的內積公式為：

兩個向量的內積有什么用呢？一個重要的應用就是可以根據(jù)內積判斷向量a和向量b之間的夾角和方向關系（詳細推導可參見：https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832），具體來說：

a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間

簡單來說就是內積可以反映出兩個向量之間的某種關系或聯(lián)系。Gram矩陣是兩兩向量的內積組成的，所以Gram矩陣可以反映出該組向量中各個向量之間的某種關系。

風格遷移中的Gram矩陣

深度學習中經(jīng)典的風格遷移大體流程是：
1. 準備基準圖像和風格圖像
2. 使用深層網(wǎng)絡分別提取基準圖像（加白噪聲）和風格圖像的特征向量（或者說是特征圖feature map）
3. 分別計算兩個圖像的特征向量的Gram矩陣，以兩個圖像的Gram矩陣的差異最小化為優(yōu)化目標，不斷調整基準圖像，使風格不斷接近目標風格圖像

這里邊比較關鍵的一個是在網(wǎng)絡中提取的特征圖，一般來說淺層網(wǎng)絡提取的是局部的細節(jié)紋理特征，深層網(wǎng)絡提取的是更抽象的輪廓、大小等信息。這些特征總的結合起來表現(xiàn)出來的感覺就是圖像的風格，由這些特征向量計算出來的的Gram矩陣，就可以把圖像特征之間隱藏的聯(lián)系提取出來，也就是各個特征之間的相關性高低。如果兩個圖像的特征向量的Gram矩陣的差異較小，就可以認定這兩個圖像風格是相近的。

總的來說，Gram Matrix可看做是圖像各特征之間的偏心協(xié)方差矩陣（即沒有減去均值的協(xié)方差矩陣），Gram計算的是兩兩特征之間的相關性，哪兩個特征是同時出現(xiàn)的，哪兩個是此消彼長的等等。另一方面，Gram的對角線元素，還體現(xiàn)了每個特征在圖像中出現(xiàn)的量，因此，Gram矩陣可以度量各個維度自己的特性以及各個維度之間的關系，所以可以反映整個圖像的大體風格。只需要比較Gram矩陣就可以比較兩個圖像的風格差異了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Gram格拉姆矩阵在风格迁移中的应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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