在很多積分問題中,古典的求解積分方法無論在理論上還是在解決實際問題中都起了很大的作用,但由于積分函數的復雜性,古典積分公式并不能完全解決定積分的計算問題。由此可見,通過原函數來計算積分有它的局限性。隨著計算機和相應計算軟件的飛速發展,積分數值計算方法[1-2]已成為很多應用專業的重要學習內容之一,也是數學和計算機等計算方向的大學本科生必學的內容。像Newton-Cotes公式、高斯公式、龍貝格公式是數值積分課程教學的重點,而方法原理及公式推導通常繁瑣復雜,若結合圖形和實例演示則能達到事半功倍的效果。對于圖形計算演示,Matlab軟件[3-4]具有很強的實用性,它能快捷處理數學計算問題,其強大的繪圖功能和現成的數學計算函數庫。在數值積分教學中有重要應用。本文主要運用Matlab軟件輔助數值積分解法原理、數值積分方法的教學,以達到更好的教學效果。1回歸定義——機械求積函數積分有很多常用的積分公式,但實際絕大數積分問題都不能用現成的積分公式精確求解,所以要尋求一些近似方法。這里根據積分思想,闡述積分公式計算的難點,由積分定義式引出數值積分思想,結合實例,運用Matlab推演簡單的數值積分過程,這樣學生很容易理解數值積分概念。若一元函數f (x)在區間[a,b]上連續且其原函數為F (x),可用Newton-Leibnitz公式I=∫abf (x) dx=F (b)-F (a)求定積分的值,而F (x)很難得到,這可回歸到積分的原始定義:I=∫abf (x) dx=limΔx→0∑i=1Nf (xi)Δx,(1)其中N=(b-a)/Δx。由(1)式的極限形式可知,函數f (x)在區間[a,b]上的積分實際上可認為將區間化成無數小區間Δx,求函數f (x)覆蓋每個小區間的矩形面積之和,則極限體現為區間足夠小。從數值計算角度而言,極限可看成近似達到預期點的思想,即滿足一定的精度要求,結果就認為到達極限。例1求積分I=∫-1111+x2dx。根據(1)式,利用Matlab編程,對劃分不同大小區間所得積分值如表1,并通過圖形演示積分原理如圖1~4。由圖1~4可知,當區間長度為0.02時,積分值基本上和原積分值相等,相應誤差如表1所示。表1不同區間長度積分值比較(真實積分值為π2)項目數值積分值誤差n=101.515 90.054 9n=501.559 50.011 3n=1001.565 10.005 7n=1 0001.570 70.000 1圖1真實積分覆蓋面積圖2 10個區間積分覆蓋面積圖3 50個區間積分覆蓋面積圖4 100個區間積分覆蓋面積從表1可看出,當區間步長Δx足夠小時,(1)式這種機械型積分基本上接近真實值,那是不是說只要區間步長Δx足夠小,所有的積分通過(1)式都可近似計算出來?這顯然不行,因為在實際問題中可能積分函數f (x)的數學形式不存在,僅知道幾個測試點的函數值,或者積分函數很復雜,這樣就很難用(1)式達到計算積分的目的,我們必須運用其他數值積分方法,其中插值型積分就是一個很好的方法。2對比分析——插值型積分插值型積分是指用一近似函數φ(x)來代替原函數f (x)進行積分。在區間[a,b]上,近似函數φ(x)構造方法很多,不同的構造函數對應不同的積分方法。這里通過幾類積分方法對比分析,讓學生掌握插值型積分公式的構造原理,同時也幫助學生對插值理論知識進行鞏固。插值求積公式思想:設已知f (x)在區間[a,b]上對應的節點xi (i=0,1,?,n)有函數值f (xi),構造n次拉格朗日插值多項式P (x)=∑k=0nf (xk) lk

總結

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