回顧 - 什么是群

一、定義
定義1 設(shè)G是定義了一個(gè)二元運(yùn)算+的集合，如果這個(gè)運(yùn)算滿足下列性質(zhì)：
（1）封閉性——如果a和b都屬于G，則a+b也屬于G。

（2）結(jié)合律——對(duì)于G中的任意元素a、b和c，都有（a+b）+c=a+（b+c）成立。

（3）單位元——G中存在元素e，對(duì)于G中任意元素a，都有a+e=e+a=a成立。

（4）逆元——對(duì)于G中任意元素a，G中都存在元素a'，使得a+a'=a'+a=e成立。G就叫作一個(gè)群，記為（G，+）。

如果這里的運(yùn)算+是加法運(yùn)算，則稱G為加法群；如果這里的運(yùn)算+是乘法運(yùn)算，則稱G為乘法群。如果一個(gè)群中的元素是有限的，則稱這個(gè)群是一個(gè)有限群；否則稱這個(gè)群是一個(gè)無限群。有限群中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階。

例：集合｛0，1｝關(guān)于xor運(yùn)算是群，階為2
封閉性：0 xor 1 = 1屬于該群
結(jié)合律：（0 xor 1）xor 0 = 1 = 0 xor （1 xor 0）
單位元為0：0 xor 0 = 0，0 xor 1 = 1
逆元為1：1 xor 0 = 1，1 xor 1 = 0

又如：自然數(shù)集合N=｛1，2，3…｝對(duì)于通常的加法封閉且滿足結(jié)合律，但不存在左單位元和左逆元，因此對(duì)于加法不是群。

如果群（G，+）中的運(yùn)算+還滿足交換律，即對(duì)G中的任意元素a和b，都有a+b=b+a成立，則稱G為一個(gè)交換群或Abel群，例如整數(shù)關(guān)于加法的運(yùn)算（Z，+）就為交換群。

在群中定義求冪運(yùn)算為重復(fù)使用群中的運(yùn)算，如a⁴=a+a+a+a。規(guī)定a⁰=e為單位元。如果一個(gè)群的所有元素都是a的冪a^k，則稱這個(gè)群是一個(gè)循環(huán)群，這里的k是整數(shù)。a也被稱為這個(gè)群的生成元。

例：整數(shù)加法群是一個(gè)循環(huán)群，1是生成元，每一個(gè)元素都是1的冪，如：
4=1⁴=1+1+1+1
-3=1 ^-3=（-1）+（-1）+（-1）
而且規(guī)定0=1 ⁰，即0為0個(gè)1相加。

（注：定義中的“+”并不代表具體的加法，而是抽象的加法——代表一種代數(shù)運(yùn)算）

定義2 給定群G中元素a，稱滿足aⁱ=e的最小正整數(shù)i為元素a的階。

二、群的基本性質(zhì)
（1）左逆元同時(shí)也是右逆元，即對(duì)于a，b∈G，b+a=e，則a+b=e。

（2）左單位元同時(shí)也是右單位元，即如果對(duì)于所有的a∈G有ea=e，則對(duì)于所有的a∈G也有ae=e。

（3）單位元是唯一的。

（4）逆元是唯一的。

雙線性映射

抽象意義的雙線性映射描述如下：

設(shè)G₁、G₂都是階為p的循環(huán)群，p是素?cái)?shù)。如果映射e: G₁ × G₁ → G₂ 滿足以下性質(zhì)：
（1）雙線性性。
對(duì)于任意a，b∈Z_p和R，S∈G₁，有e(R^a, S^b) = e(R, S)^ab；

（2）非退化性。
存在R，S∈G₁，使得e(R, S) ≠ 1_G2。這里1_G2代表G₂群的單位元；

（3）可計(jì)算性。
存在有效的算法對(duì)任意的R，S∈G₁，計(jì)算e(R, S)的值。

那么稱e是一個(gè)雙線性映射。
雙線性映射可以通過有線域上的超橢圓曲線上的Tate對(duì)或Weil對(duì)來構(gòu)造。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的理解密码学中的双线性映射的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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