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• 原理
• Python 代碼

參考文章： https://en.wikipedia.org/wiki/Grubbs%27s_test

原理

格拉布斯檢驗¹是一種假設檢驗方法（顯著檢驗法），其原假設為：
$H_0:$ 數據集中沒有離群值
$H_1:$ 數據集中存在離群值

設數據集為：$x_1,x_2,?,x_n$計算 Grubbs 檢驗的檢驗統計量如下：
$$G=\frac{\max |x_i?\bar{x}|}{s}$$
其中 $s$ 為樣本的標準差：
$$s=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i?\bar{x}{)}^2}{n?1}}$$
其中檢驗統計量 G 服從：
$$G～\frac{n?1}{\sqrt{n}}\times \sqrt{\frac{t_{(1?\alpha )/2n}^2(n?2)}{n?2+t_{(1?\alpha )/2n}^2(n?2)}}$$
取顯著水平為 $\alpha =0.95$，若：
$$G>\frac{n?1}{\sqrt{n}}\times \sqrt{\frac{t_{(1?\alpha )/2n}^2(n?2)}{n?2+t_{(1?\alpha )/2n}^2(n?2)}}$$
則拒絕原假設，意味著樣本中存在離群值，而離群值就是那個離 $\bar{x}$ 最遠的樣本，一般只要將其從樣本中刪除即可。

于是，對樣本 $x_1,x_2,?,x_n$，重復上述過程，直到 格拉布斯 檢驗無法檢驗的離群值為止。

Python 代碼

def grubbs_test(x, alpha=0.95):'''格拉布斯檢驗Parameters----------x : array, series樣本.alpha : float, optional置信水平. The default is 0.95.Returns-------x : np.array移除了 outliers 后的樣本.'''# https://en.wikipedia.org/wiki/Grubbs%27s_testif isinstance(x, pd.Series) or isinstance(x, pd.DataFrame):x = x.astype('float').valueselif isinstance(x, list):x = np.array(x)# 樣本個數p = len(x)beta = 1-alphawhile True:# 格拉布斯法算出離群值if p > 2:# 求均值和方差mean, std, _ = mean_standard(x)G_arr = np.abs(x-mean)/std# 最有可能是離群值的樣本的 indexG_idx = G_arr.argmax()# 求出 Grubbs test 的能力統計量 GG = G_arr[G_idx]t_crital = t.ppf(beta/(2*p), p-2)# 求檢驗統計量在顯著性水平中的臨界值criteria = (p-1)/np.sqrt(p)*np.sqrt(t_crital**2/(p-2+t_crital**2))if G > criteria:# 若樣本中有離群值, 刪除離群值x = np.delete(x, G_idx)# 重新求取參加者個數p = len(x)else:# 若樣本中沒有離群值，則返回return xelse:return x

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這里介紹的方法是雙邊（two-sides）格拉布斯檢驗法。也即同時檢驗兩個方向的離群值，若需要單邊，則只需把 $(1?\alpha )/2n$ 換做 $(1?\alpha )/n$，把 G 換成 $(x_{max}?\bar{x})/s$ 或 $(\bar{x}?x_{min})/s$ 即可。 ??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的格拉布斯离群值检验——理论与 Python 实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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