2011 年 3 月第 25 卷 第 1 期 陰 山 學 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar． 2011 Vo1． 25 No． 1 基于 MATLAB 的隨機線性微分方程的求解* 云 文 在 ( 包頭師范學院 數學科學學院，內蒙古 包頭 014030) 摘 要: 給出連續線性系統離散化形式的解的算法及 MATLAB 實現，舉例進行仿真，并得出隨機輸入系統的響應曲線。 關鍵詞: 隨機線性連續狀態方程; 離散化; MATLAB; 仿真 中圖分類號: O175 文獻標識碼: A 文章編號:1004 －1869( 2011) 01 －0011 －03 1 假設隨機線性連續狀態方程模型為  x( t) = Ax( t) + B［d( t) + γ( t) ］，y( t) = Cx( t) 式中 A，B，C 為兼容矩陣，d( t) 為確定性輸入向量，γ ( t) 為 Gauss 白噪聲向量，滿足 E［γ( t) ］=0，E［γ( t) γT( t) ］= Vσδ( t － － ι ) ， 定義一個變量 γc( t) = Bγ( t) ，則可以證明 γc( t) 亦為 Gauss 白噪聲向量，且滿足 E［γc( t) ］=0，E［γc( t) γc T( t) ］= Vcδ( t － － ι ) ， 其中 Vc = BVcBT 是一個協方差矩陣。 此時狀態方程模型可改寫為:  x( t) = Ax( t) + Bd( t) + γc( t) ，y( t) = Cx( t) 2 連續狀態方程的離散化 假設，t 0 = kΔt，t = ( k + 1) Δt 其中 Δt 為計算步長，并假設在一個計算步長之內確定性輸入信號 d ( t) 為一個常數，即，如 Δt≤t≤( k + t) Δt 時有 d( t) = d( kΔt) ，則連續狀態方程的離散形式可寫成: x［( k + 1) Δt］ = Fx ( kΔt) + Gd ( kΔt) + γd ( kΔt) ，y( kΔt) = Cx( kΔt) 式中 F = eAΔt，G = ∫ Δt 0 eA( Δt － － ι ) Bd － ι ， 且 γd( kΔt) = ∫ ( k +1) Δt kΔt eA［( k +1) Δt － － ι］γc( t) d － ι = ∫ Δt 0 eAtγc［( k +1) Δt － － ι ］d － ι 可見矩陣 F，G 和確定性系統的離散化形式是一樣的。但可以看出，若系統含有隨機輸入時，系統的離散化形式與傳統形式是不同的。 可以證明 γd( t) 也是 Gauss 白噪聲向量，且滿足 E［γd( t) ( kΔt) ］=0， E［γd( t) ( kΔt) γT d( t) ( jΔt) ］= Vδkj， 式中 V = ∫ Δt 0 eAtVceATtdt。 3 離散化狀態方程形式的解 利用 Taylor 冪級數展式得: V = ∫ Δt 0 ∑ ∞ k =0 Rk( 0) k! tkdt∑ ∞ k =0 Vk 其中 RK( 0) 與 Vk 可以由下式遞推求出: Rk( 0) = ARk －1( 0) + Rk －1( 0) AT Vk = Δt k +1 ( AVk －1 + Vk －1AT{ ) 遞推初值為 R0( 0) = R( 0) = Vc，V0 = VcΔt。 由奇異值分 解理論，可以將矩陣 V 寫成 V = UΓUT，其中 U 為正交矩陣，Γ 為含有非零對角元素的對角矩陣，這樣就可以得出 Cholesky 分 解 V = DDT

總結

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