設$X$是任意的集合（可以是不可數的),并設$f:X\to \mathbb{R}$和$g:X\to\mathbb{R}$是函數.使得$\sum_{x\in X}f(x)$和$\sum_{x\in X}g(x)$是絕對收斂的.則級數$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))$是絕對收斂的，并且$$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))=\sum_{x\in X}f(x)+\sum_{x\in X}g(x)$$

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證明：$\sum_{x\in X}f(x)$與$\sum_{x\in X}g(x)$絕對收斂，意味著對于$X$中任意的有限集合$A$,都有$\sum_{x\in A}|f(x)|\leq M$,$\sum_{x\in A}|g(x)|\leq N$.則$$\sum_{x\in A}|f(x)+g(x)|\leq\sum_{x\in A}|f(x)|+\sum_{x\in A}|g(x)|\leq M+N$$因此級數$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))$是絕對收斂的(根據陶哲軒實分析引理8.2.3).然后看$\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}(f(x)+g(x))$.$(f(x)+g(x))_{x\in X:f(x)\neq 0}$是一個可數集.顯然$$\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}(f(x)+g(x))=\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}f(x)+\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}g(x)=\sum_{x\in X}f(x)+\sum_{x\in X}g(x)$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 命题 8.2.6 证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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