前言

這是一篇自己對各類動態規劃和動態規劃技巧的總結，未完待續，后續會一邊刷題一邊添加內容

關于填表法和刷表法

在我們做的題中，一般填表法用得較多，但兩者各有好處

一般來說動態規劃中，狀態的轉移可以理解成圖論中的一條有向邊($u\to v$)，我們以 u 作為已求出來的狀態，v 為需要求的狀態，那么填表法便是將目光放在 v 上，去尋找已知的 u 來更新；而刷表法則是將目光放在u 上，利用已知的 u 來去更新可抵達的 狀態 v

具體來說填表法會寫成這樣 ：dp[i] = dp[i - j] + w

而刷表法會寫成這樣： dp[i + j] = dp[i] + w

填表法的好處不多說，畢竟平時用得最多的便是填表法

而刷表法的好處便是：一般對于一道題中，若是在求本狀態時，尋找需要利用到的狀態比較困難時，則可以考慮用刷表法

關于空間優化

動態規劃中，真要考起動態規劃來，感覺很少卡空間，但還是說說吧

一般我碰見比較常見的空間優化的方式有兩種：

一種是狀態轉移時，本狀態的維度只用到了上一個狀態的維度，即 dp[i][x] = dp[i - 1][y] 這種形式，這樣的優化方式有很多，例如開數組時將那一維開成2的大小，又例如直接把那一維刪了

另一種是多維度狀態數組超內存的情況，一般來說這種的特點是，有一維可以利用其它幾維間接推出來，固優化方式是直接將那一維刪了，然后轉移時，那一維的信息直接利用其它維信息推出來。例題 [NOIP2010]烏龜棋 : 本題不能直接開5維度的空間

關于狀態轉移——tmp數組

為什么要總結這個？個人感覺這個真的很重要，在樹形背包的應用上有奇效

tmp數組只是我自己的叫法，具體怎么用得慢慢解釋

對于上述所說的 “本狀態的維度只用到了上一個狀態的維度” 的空間優化，有人是這么處理的

int dp[2][N]; // 聲明 for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) {dp[i & 1][j] = max(dp[i & 1][j], dp[!(i & 1)][j - x] + y);} }

但如果使用tmp數組則可以這樣，有兩種方式

int dp[N], tmp[N]; // 聲明 /* 方式一 */ for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) tmp[j] = dp[j]; // 先復制，記錄沒轉移前的狀態for (int j = 1; j <= m; ++j) {dp[j] = max(dp[j], tmp[j - x] + y); // 在轉移} } /* 方式二 */ for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) tmp[j] = -inf; // 先初始化for (int j = 1; j <= m; ++j) {tmp[j] = max(tmp[j], dp[j - x] + y); // 再轉移}for (int j = 1; j <= m; ++j) dp[j] = tmp[j]; // 最后復制回dp數組里面 }

使用tmp數組的好處是思路清晰，處理簡單

注意，方式一和方式二各有好處，不同題目的初始條件不同兩者的效果可能會不同

關于更新狀態

尋常來說我們更新狀態直接利用遞推便可

但有些題目最終利用到的狀態并沒有多少，但直接遞推又不好找轉移的狀態，并且直接遞推復雜度可能頂不住

固一般來說這樣的狀態轉移可以考慮記憶化搜索，類似剪枝一般在尋找狀態時只搜索自己需要用到的狀態，同時，有時狀態可能是無限的，也可能超出了數組的下標承受范圍，則可以考慮使用map存儲狀態

關于時間復雜度

一般來說，我們dp的時間復雜度可以從空間大小來推測，因為一般我們的狀態若是幾乎都要遍歷一遍的話，其復雜度的下限便是其空間的大小

關于尋找具體方案

對于這種題目，求最后的答案時可以像尋常般進行dp，而反過頭來求出答案來源的具體方案我一般是dfs往回找，時間負責度也不高

對于求解對字典序有要求的具體方案，我會反過來dp，然后正過來dfs找具體方案

當然，也看過別的求解具體方案的方式：多開一個數組記錄轉移的路線，然后像是遍歷圖一樣找路線

線性dp

線性dp——背包

對于背包真的不想多說了，刷多了自然有就感覺了，我的《背包問題》這篇博客我也總結得不少了

例題

• AcWing 2. 01背包問題 01背包入門題
• AcWing 3. 完全背包問題 完全背包入門題
• AcWing 4. 多重背包問題 I 多重背包入門題
• AcWing 5. 多重背包問題 II 多重背包進階題
• AcWing 6. 多重背包問題 III 多重背包困難題
• AcWing 7. 混合背包問題 混合背包
• AcWing 8. 二維費用的背包問題 二維背包
• AcWing 9. 分組背包問題 分組背包
• AcWing 11. 背包問題求方案數 背包問題求方案數
• AcWing 12. 背包問題求具體方案 背包問題求具體方案，可以試試上面說的求具體方案的方法
• NC23413 小A買彩票 一個簡單的背包問題
• NC14526 購物 01背包+分組背包
• NC207751 牛牛的旅游紀念品 背包問題入門題
• NC16693 [NOIP2001]裝箱問題 裸的01背包
• P1048 [NOIP2005 普及組] 采藥 裸的01背包
• NC17871 CSL分蘋果 轉換成01背包寫
• P1064 [NOIP2006 提高組] 金明的預算方案 我是當成有依賴的背包寫的，但也有人用線性方式的dp寫出來了，所以放這吧
• NC14699 隊伍配置 多維背包的入門題
• [USACO09DEC]Video Game Troubles 分組背包+01背包，轉移用兩個方程
• NC17193 簡單瞎搞題 分組背包用bitset優化
• NC16576 [NOIP2012]擺花 分組背包
• P5020 [NOIP2018 提高組] 貨幣系統 完全背包的應用
• P1877 [HAOI2012]音量調節 簡單背包問題
• P4158 [SCOI2009]粉刷匠 劃分dp + 分組背包，有點進階
• CodeForces 755F PolandBall and Gifts 多重背包，說實話有點毒瘤
• CodeForces - 864E Fire 貪心+01背包
• CodeForces - 366C 思維+01背包，有點進階
• atcoder Knapsack 2 01背包+換意dp
• atcoder Candies 多重背包，需要一些優化手段
• atcoder Tower 思維+01背包，有點思維性，多想想
• CodeForces 1637D. Yet Another Minimization Problem 打比賽時發現的，好題

其他線性dp

線性dp是最基礎的dp，其他dp可以說是他的延伸，線性dp難起來一般的難點是轉移上

線性dp考點有很多，包括空間優化，狀態轉移和定義，尋找具體方案等

多刷題才是王道

例題

• NC20875 舔狗舔到最后一無所有 這題的轉移有點意思

• NC20650 可愛の星空 這題的轉移注意狀態的空間，建議使用dfs找狀態

• NC51216 花店櫥窗 這題感覺像是背包+數字三角形的模型，還要求具體方案

• NC16850 免費餡餅 加個時間軸作為狀態的一維，然后像數字三角形一樣走，反過來遍歷就好了，然后正過來找具體方案

• NC16856 釘子和小球 這題有點好玩，初始狀態有點意思

• NC16619 [NOIP2008]傳球游戲 很簡單的線性dp

• NC16664 [NOIP2004]合唱隊形 算LIS的入門題吧

• [NOIP1999] 攔截導彈 相信不少人做過這題，Dilworth定理的應用

• NC15553 數學考試 算劃分dp吧

• NC19158 失衡天平 這種轉移也有點意思，沒遇到過可能真要想挺久的

• NC13885 Music Problem 要用到bitset優化，想想取余的加減法對應的操作吧

• NC14704 美味菜肴 先貪心，后dp，最后找最優值

• NC207781 遷徙過程中的河流 貪心思維的dp

• [NOIP2008 提高組] 傳紙條 建議記憶化搜索，可以空間優化

• P1004 [NOIP2000 提高組] 方格取數 和傳紙條差不多

• P1052 [NOIP2005 提高組] 過河 空間優化，轉移找狀態有點惡心

• NC16590 烏龜棋 需要空間優化

• NC50959 To the Max 前綴和與最大連續子串的應用

• P1169 [ZJOI2007]棋盤制作 思維+最大全為1的正方形+單調棧的應用

• P2331 [SCOI2005]最大子矩陣 狀態有點難想，也有點難轉移

• AcWing 431. 守望者的逃離 轉移挺有意思的，記住特判條件就好了

• [USACO 2008 Jan S]Running 刷表法的應用

• P2051 [AHOI2009]中國象棋 要結合組合數學轉移

• atcoder Grid 2 需要組合數學和走格子的一個數學小結論

區間dp

一種具有區間性質的dp，一般來說轉移都是從小區間轉移到大區間，固一般是先枚舉小區間再枚舉大區間的即 dp[l][r] <- dp[l + 1][r - 1]

有兩種遍歷方式可以做到

//1 比較常見的 for (int len = 1; len <= n; ++len) {for (int l = 1, r = l + len - 1; r <= n; ++l, ++r) {// 轉移} } //2 可以反向l只會找l+1轉移，r只會找r-1轉移，固可以l逆著遍歷，r順著遍歷 for (int l = n; l >= 1; --l) {for (int r = l; r <= n; ++r) {// 轉移} }

兩種效果差不多

對于環形的區間dp，一般的處理方式是拆環成鏈，開兩倍的空間

例題

• NC14701 取數游戲2 區間dp入門題

• NC15447 wyh的問題 區間dp題，沒什么好說的

• 石子合并 經典

• 凸多邊形的劃分 經典

• P4170 [CQOI2007]涂色 區間dp，感性轉移

• NC16129 小小粉刷匠 和涂色差不多，多了個限制條件

• NC23501 小A的回文串 拆環成鏈

• NC227595 跳跳跳 區間dp，也不難想

• NC13230 合并回文子串 如果能想到是區間dp就挺簡單的了

• P3147 [USACO16OPEN]262144 P 區間dp+換意dp

• P1005 [NOIP2007 提高組] 矩陣取數游戲 普普通通的區間dp

• P1040 [NOIP2003 提高組] 加分二叉樹 需要一點樹的中序和前序遍歷的知識

• HDU 2476 String painter 和涂色差不多，需要預處理，然后來個區間dp，最后劃分dp

• UVA 10617 Again Palindrome 求區間中有多少個回文子序列，需要容斥一下

• POJ 1159 Palindrome 需要空間優化

• atcoder Deque 思維+區間dp

樹上dp

個人感覺，樹上dp和樹上背包是不一樣的，固分開來寫

樹形dp簡單的來說就是在樹上進行dp

但有些模型個人覺得還是必須要去了解的

例如

• 樹上獨立集
• 樹的最小支配集
• 樹的最小點覆蓋
• 樹的直徑
• 樹的重心
  • 性質如下
  • 一棵樹最少有一個重心，最多有兩個重心，若有兩個重心，則他們相鄰（即連有直接邊）
  • 樹上所有點到某個點的距離和里，到重心的距離和最小；若有兩個重心，則其距離和相同
  • 若以重心為根，則所有子樹的大小都不超過整棵樹的一半
  • 在一棵樹上添加或刪除一個葉子節點，其重心最多平移一條邊的距離
  • 兩棵樹通過連一條邊組合成新樹，則新樹重心在原來兩棵樹的重心的連線上
• 樹的中心
• ……

當然還有比較常見的便是換根dp和基環樹dp

對于換根dp，換根時個人覺得還是多開一個數組進行記錄需要的答案比較好。一般來說思考換根的公式是畫圖和進行未換根前的公式轉換

例題

• Libre 10157 「一本通 5.2 例 5」皇宮看守 樹上最小支配集

• NC51178 沒有上司的舞會 樹上最大獨立集

• Libre 10156 「一本通 5.2 例 4」戰略游戲 樹上最小點覆蓋

• Libre 10159 「一本通 5.2 練習 2」旅游規劃 樹的直徑+具體方案

• POJ 1655 Balancing Act 樹的重心

• NC202475 樹上子鏈 有點像樹的直徑

• NC211219 電話網絡 樹上最小支配集

• NC22598 Rinne Loves Edges 直接樹上dp就行了

• P4268 [USACO18FEB]Directory Traversal 換根dp

• P2986 [USACO10MAR] Great Cow Gathering 換根dp

• NC51180 Accumulation Degree 換根dp

• NC51222 Strategic game 樹上最小點覆蓋

樹形背包

樹形背包，顧名思義是在樹上的或者說是有依賴的背包問題

對于思考方式可以看看之前寫的《樹形背包思考方式》

一般困難點便是轉移的思考、如何定義狀態、邊和點權哪個是物品重量等

當然還有一個進階考法是利用虛樹進行優化

例題

• AcWing 10. 有依賴的背包問題 入門題

• Libre 10154. 「一本通 5.2 例 2」選課 入門級別吧

• Libre 10153. 「一本通 5.2 例 1」二叉蘋果樹 入門級別

• NC20811 藍魔法師 要學會思考什么是背包模型中的物品重量

• P1273 有線電視網 樹形背包+換意dp

• P1272 重建道路 這題也不難

• P3177 [HAOI2015]樹上染色 注意背包模型中的物品是什么

• HDU6540 Neko and tree 進階題

• P3354 [IOI2005]Riv 河流 有點難

狀壓dp

狀態壓縮一般指的是利用二進制進行狀態的壓縮，很少出現三進制這些

當然狀態壓縮dp常見的考點便是哈密頓通路的模型

注意一個二進制狀態尋找子集的搜索方法，其復雜度是O($3^n$)的

for (int s1 = s; s1; s1 = (s1 - 1) & s) {int s2 = s ^ s1;// s1 與 s2 互為 s 的補集 }

例題

• AcWing 292. 炮兵陣地 基礎題

• P1896 [SCOI2005]互不侵犯 入門題

• NC17890 方格填色 要用快速冪優化

• NC210981 mixup2 混亂的奶牛 算是基礎題吧

• AcWing 291. 蒙德里安的夢想 狀態dp，個人覺得輪廓線的思想來轉移會比較好

• NC15832 Most Powerful 好好思考狀態

• P1879 [USACO06NOV]Corn Fields 基礎題

• NC16122 郊區春游 本質是求一個哈密頓最小路徑的通路

• NC16544 簡單環 類似求一個哈密頓回路的方案數

• P3118 [USACO15JAN]Moovie Mooving 思考狀態存什么

• P3092 [USACO13NOV]No Change 要二分優化

• atcoder Matching 二分圖的完美匹配方案數

• atcoder Grouping 你需要學會枚舉子集

• [CQOI2012]局部極小值 狀壓dp+容斥（難度較高）

• leetcode 6007. 數組的最大與和 這題有點意思，建議用狀壓做

• atcoder ABC213G - Connectivity 2 枚舉子集，要想到如何不重不漏地計算

數位dp

說起數位dp，求解的過程更像是在樹上計數一樣

值得注意的是：記憶化遞歸求解簡單易懂，而且幾乎不會卡遞歸的方式

給出遞歸時的一個套路代碼（很多地方更多的是希望根據題意來）

有時候有些數位dp可能對前導0或者前面填的數對后面有影響，則可以在dfs中傳參傳多幾個標志，然后在更新res（12行）時特判就好了

當然，個人感覺核心代碼就是11~13行內部的轉移方式，一般來說，寫題的時候有點糾結狀態怎么定義時，會先寫這部分

int num[100], dp[100];int dfs(int indx, int limit, /*參數根據題意來添加*/) {if (indx == 0) {return 1;// 根據題意來返回}int &ref = dp[indx];if (!limit && ref != -1) return ref;int res = 0;int up = (limit ? num[indx] : 9);for (int i = 0; i <= up; ++i) {// 更新resdfs(indx - 1, limit && i == up);}if (!limit) ref = res;return res; }int solve(int x) {if (!x) return 1; // 根據題意來決定返回值int len = 0;while (x) {num[++len] = x % 10;x /= 10;}return dfs(len, 1); } int main() {memset(dp, - 1, sizeof dp); // 根據題意決定初始化的時機和大小// 此行省略讀入cout << solve(r) - solve(l - 1) endl; }

例題

• Libre 10164. 「一本通 5.3 例 2」數字游戲 入門好題
• Libre 10166. 「一本通 5.3 練習 1」數字游戲 和上一題處理差不多
• [SCOI2009] windy 數 多少人的剛學是做的這題？
• atcoder abc161D Lunlun Number 不說應該也能想到怎么做的題
• CodeForces 204A Little Elephant and Interval 這題讓我吹爆記憶化搜的數位dp，處理前導0的形式值得練習
• CodeForces 1143B Nirvana 這題雖然可以不用數位dp做，但可以當做數位dp的練手題，可以練習一下處理前導0的形式
• And and Pair 19年南昌icpc的C題，重現的時候自己是組合數學寫出來的，但這題確實可以用數位dp寫，注意是兩個限制維度
• Sum of Log 20年上海icpc的C題，也是兩個限制維度限制的數位dp

~持續更新中……

總結

以上是生活随笔為你收集整理的各类dp的总结+例题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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