問題：若n個非負數之和為1，即∑xi=1，求證：∑x3i(1?xi)≤18

引理1：若∑xi=1，當n≥3時，必有兩數之和小于34(｡･?･)ﾉ
證明唄：顯然xi+xj這樣的數對有C2n組，然后：

∑xi+xj=(x1+x2)+(x1+x3)+...=(n?1)?∑xi=n?1
由于 xi+xj這樣的數對有 C2n組，其平均值為 n?1C2n=2n，于是必有兩數之和小于 2n≤23<34.
沒毛病？

引理2：若兩個正數x,y，滿足x+y<34，那么有

(x+y)3?(x+y)4>[x3?x4]+[y3?y4]
證明：展開之唄
?4x3y+6x2y2+4xy3?3x2y?3xy2<0?3(x+y)?(4x2+6xy+4y2)>0?3(x+y)?(4x2+8xy+4y2)>0?3(x+y)?4(x+y)2>0?(x+y)<34

ok證畢

引理3：n=2時原問題成立
證明：一波導數過去肯定可以的，沒毛病

回到原問題：
設f(x1,x2,...,xn)=∑x3i(1?xi)，不妨設x1≥x2≥...,≥xn，顯然由引理1，xn+xn?1<0.75，于是立馬用引理2有

f(x1,x2,...,xn)≤f(x1,x2,...,(xn?1+xn),0)
令 x1,x2,...,(xn?1+xn)從大到小重排得到 x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0，顯然其和依舊保持為1不變，那上式改寫為：
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0)
由于和保持1不變，所以由引理1，知道只要 n≥3那么上述算法便可以繼續重復操作下去，直到 n=2，即有
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0)≤...≤f(x(n?2)1,x(n?2)2,0,...,0)
由引理3有 f(x1,x2,...,xn)≤f(x(n?2)1,x(n?2)2,0,...,0)≤18
等號在 (0.5,0.5,0...,0)處取得

總結

以上是生活随笔為你收集整理的不等式$\sum x_i^3(1-x_i)\leq\frac{1}{8}$的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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