參數(shù)方程中曲線欣賞 ———平擺線 一、教材分析 1、教材的地位和作用 “參數(shù)方程中曲線欣賞——平擺線、圓的漸開線”這節(jié)教材是選修4-4的第4.4節(jié)，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了坐標(biāo)系和參數(shù)方程的基礎(chǔ)上，要學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞各種各樣的曲線，如平擺線、漸開線、心臟線等，并體會(huì)參數(shù)對(duì)研究這些曲線的作用。這節(jié)教材中，數(shù)與形的結(jié)合、相對(duì)與絕對(duì)、運(yùn)動(dòng)與變化、分解與綜合等思想方法十分突出，對(duì)學(xué)生辨證地認(rèn)識(shí)世界以及形成研究的態(tài)度意義重大。 ２、教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是借助教具和計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)，了解平擺線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程。通過“閱讀”，了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用實(shí)例。 知識(shí)技能目標(biāo) 　　　了解平擺線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程。 過程性目標(biāo) 　　　通過學(xué)生積極參與，親身經(jīng)歷平擺線的生成過程及曲線方程的獲得過程，體會(huì)坐標(biāo)系和參數(shù)方程的作用和意義，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 　　　通過自主探索、合作交流，學(xué)生歷經(jīng)先想一想，再實(shí)際操作，最后追究其道理，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 　　　通過在直觀的基礎(chǔ)上分析、抽象、論證、推導(dǎo)，層層深入，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維的能力，體會(huì)參數(shù)對(duì)研究平擺線、漸開線的作用. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生間、師生間的相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步養(yǎng)成質(zhì)疑的科學(xué)精神。 了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用實(shí)例，展現(xiàn)人文數(shù)學(xué)精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值及其在社會(huì)進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的重要作用。 學(xué)會(huì)欣賞各種各樣的曲線，感受數(shù)學(xué)美，進(jìn)行數(shù)學(xué)審美教育，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。 4、教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是了解平擺線的生成過程，并推導(dǎo)出它的參數(shù)方程。難點(diǎn)是擺線參數(shù)方程的推導(dǎo)。 二、教法分析：探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)法. 遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，通過學(xué)生主動(dòng)探索、積極參與、共同交流與協(xié)作，在教師的引導(dǎo)和合作下，學(xué)生“跳一跳”就能摘得果實(shí)，于問題的分析和解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和發(fā)展，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)習(xí)過程成為心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知過程，使師生的生命活力在課堂上得到充分的發(fā)揮。 三、學(xué)法指導(dǎo)：研討式學(xué)習(xí)法 教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)。學(xué)是中心，會(huì)學(xué)是目的。因此，在教學(xué)中要不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。這節(jié)課主要是教給學(xué)生“動(dòng)手做，動(dòng)腦想；嚴(yán)格證，勤鉆研。”的研討式學(xué)習(xí)方法。這樣做，增加了學(xué)生主動(dòng)參與的機(jī)會(huì)，增強(qiáng)了參與意識(shí)，教給學(xué)生獲取知識(shí)的途徑；思考問題的方法。使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體。也只有這樣做，才能使學(xué)生“學(xué)”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”。學(xué)生才會(huì)逐步感到數(shù)學(xué)美，會(huì)產(chǎn)生一種成功感，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；也只有這樣做，才能適應(yīng)素質(zhì)教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。 四、教學(xué)過程 3、擺線 擺線是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線(基線)上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。 當(dāng)基線是直線時(shí)，就得到平擺線或變幅平擺線。 4、擺線的性質(zhì) 最速降線 等時(shí)曲線 三、小結(jié) 四、作業(yè) P54、10 搜集有關(guān)擺線的應(yīng)用實(shí)例。 借助P50“閱讀”，探究變幅內(nèi)、外擺線的參數(shù)方程。 * * 3、教學(xué)目標(biāo) 3、教學(xué)目標(biāo) 思考： 如果在自行車的輪子上噴一個(gè)白色印記，那么自行車在筆直的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫出什么樣的曲線？ 1、平擺線的定義 我們把定點(diǎn)P的軌跡叫做平擺線，又叫旋輪線。 當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線 無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)， 圓周上一個(gè)定點(diǎn)P的 軌跡是什么？ O A B P 平擺線在它與定直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的部分叫做一個(gè)拱。 上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是： x y O D A E B P C 2、平擺線的參數(shù)方程 取定直線為X軸，定點(diǎn)P滾動(dòng)時(shí)落在定直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為r。 設(shè)P(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)，此時(shí)圓轉(zhuǎn)過 角，圓心位于A點(diǎn)， 則∠BAP= ，作AB⊥Ox，PD⊥Ox，PC⊥AB。 由題意，OB=BP=r 那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin ) y=DP=BA-CA=r (1 -cos ) 所以，平擺線的參數(shù)方程為： 2、平擺線的參數(shù)方程 平擺線的參數(shù)方程為： 思考1：在平擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值范圍 是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是什么？ x y O D A E B P C 思考2：若點(diǎn)Q在半徑AP上，且AQ=r/2，當(dāng)圓滾動(dòng)時(shí)， 點(diǎn)Q的軌跡是什么？ 當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，就得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。 當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)時(shí)，若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。 直齒 平行軸齒

總結(jié)

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