? ? ? ?在此次新冠肺炎疫情防控過程中，對疫情發(fā)展趨勢的科學(xué)預(yù)測顯得尤為重要。而這背后，離不開對傳染病傳播規(guī)律的建模。今天，小編就帶各位數(shù)學(xué)學(xué)子們來了解一下傳染病的四大經(jīng)典數(shù)學(xué)模型：SI/SIS/SIR/SEIR。其中用到了許多微分方程的知識，大家不妨在閱讀過程中重溫一下。

首先來介紹幾類與傳染病相關(guān)的人群表示：

易感者(Susceptible)：有潛在感染風(fēng)險(xiǎn)的人群，數(shù)量記為S(t)

潛伏者(Exposed)：已感染但仍處于潛伏期未發(fā)生癥狀的人群，數(shù)量記為E(t)

感染者(Infectious)：感染并表現(xiàn)癥狀的人群，數(shù)量記為I(t)

康復(fù)者(Recovered)：痊愈獲得抗性的人群，數(shù)量記為R(t)

SI模型

(Susceptible-Infectious Model)

????SI模型考慮了最簡單的情況，即把人群分為易感者S和感染者I兩類，且絕望地不考慮康復(fù)。假設(shè)總?cè)藬?shù)為N，單位時(shí)間I個(gè)感染者接觸r個(gè)人，傳染率為β，易感人比例為S/N，則單位時(shí)間新增病例為rβIS/N，可得到微分方程：

????其初始條件為：

????總?cè)藬?shù)守恒條件為：

????將S=N-I代入第二個(gè)微分方程即得：

????這就是我們學(xué)過的Logistic方程，解得：

????其指數(shù)增長率rβ，正比于感染者的接觸人數(shù)和傳染率。當(dāng)感染者I達(dá)到N/2時(shí)病人增加速度最快。觀察可得，

????也就是此模型下經(jīng)過足夠時(shí)間人類將全軍覆沒。

????我們用MATLAB來模擬SI模型下的增長過程。假設(shè)地區(qū)共有5000個(gè)人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個(gè)人，傳染率是1%， 我們來看一看結(jié)果。

????半年時(shí)間內(nèi)一個(gè)人幾乎傳染給了所有人，SI模型告訴我們在對無望康復(fù)的傳染病(如HIV)的控制中，隔離傳染過程非常重要，否則最終整個(gè)生態(tài)將崩潰。

SIS模型

(Susceptible-Infectious-Susceptible Model)

接下來我們考慮稍微復(fù)雜而有希望的情況，即感染者可以康復(fù)，但令人沮喪的是康復(fù)者仍然可能再次被感染。例如普通流感常常應(yīng)用這類模型。這種情況下需要向模型中添加感染者I的康復(fù)率γ，也就是單位時(shí)間內(nèi)感染者會減少γI，而易感者會增加γI。

????修正微分方程為：

????同樣地，初始條件為：

????以及總?cè)藬?shù)守恒條件：

????將S=N-I代入第二個(gè)微分方程即得：

????同樣的方法可解得Logistic函數(shù)：

????注意這次感染者I的極限并不是全部人口N，而是：

????我們一樣用MATLAB來驗(yàn)證一下，參數(shù)取值都與SI模型一樣，不同的是添加了康復(fù)率γ，我們假設(shè)為3%。

????可見假設(shè)條件下一年內(nèi)病人和健康人基本達(dá)到動態(tài)平衡，而最終穩(wěn)定的健康人比例決于rβ和γ，即傳染性和康復(fù)性。本例中其他條件不變的情況下如果康復(fù)率提高到10%，在極短的時(shí)間內(nèi)病人數(shù)將幾乎穩(wěn)定在0，這出人意料的全員康復(fù)結(jié)果提示了提高醫(yī)療科研水平來增加康復(fù)率的重要性。

SIR模型

(Susceptible-Infectious-Recovered Model)

????繼續(xù)完善我們的數(shù)學(xué)模型。許多急性傳染病康復(fù)后是存在抗體的，如有短期抗體的感冒，長期抗體的水痘、腮腺炎等。這些時(shí)候我們需要引入第三類人群：康復(fù)者R，假設(shè)此類人群體內(nèi)擁有別人夢寐以求的抗體，得病后永不復(fù)發(fā)長生不死。單位時(shí)間康復(fù)者γI不再加入到S類，而是歸為R類。

????此時(shí)有三個(gè)微分方程：

????初始條件：

????總?cè)藬?shù)守恒條件：

????至此就不會求解析解啦，我們用數(shù)值解來模擬。還是假設(shè)地區(qū)共有5000個(gè)人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個(gè)人，傳染率設(shè)為3%，康復(fù)率是5%。

? ? 可以看到假設(shè)條件下傳染病爆發(fā)40~50天疫情達(dá)到高峰，此后半年內(nèi)逐漸平息，最后全員康復(fù)。這一模型和現(xiàn)實(shí)中我們常經(jīng)歷的急性傳染病的傳播階段比較符合，這其中抗體起到一個(gè)非常關(guān)鍵的作用，也提示了痊愈者血清以及研制疫苗在遏制疫情上的重要性。

SEIR模型

(Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered Model)

為了研究帶潛伏期的惡性傳染病，繼續(xù)復(fù)雜化我們的模型。此時(shí)引入潛伏者E，潛伏者感染疾病但是不會顯現(xiàn)癥狀，且不考慮潛伏期的傳染性。這類模型就是當(dāng)前2019-nCoV傳播的基本模型。當(dāng)然，實(shí)際情況要比理想模型復(fù)雜得多，還需考慮其他的擾動項(xiàng)來修正方程，我們只考察最原始最簡單的SEIR模型。假設(shè)單位時(shí)間被感染者I以傳染率β把易感者S變?yōu)闈摲?strong>E，即E單位時(shí)間增加rβIS/N，而潛伏者以概率α發(fā)作成感染者，即E單位時(shí)間減少αE，I單位時(shí)間增加αE，康復(fù)者仍按之前假設(shè)。微分方程為：

????初始條件：

????人數(shù)守恒：

? ? 同樣地，求不出解析解的情況下我們用數(shù)值模擬。為了更好地模擬新肺疫情，傳染率取值較之前的例子有所提高。假設(shè)地區(qū)共有5000個(gè)人，最初只有1人感染，感染者每天出門遇到10個(gè)人，以10%的傳染率把健康人變?yōu)闈摲?#xff0c;潛伏者以50%的概率發(fā)作癥狀變?yōu)楦腥菊?#xff0c;康復(fù)率是10%。

? ? 可見上述條件下在20~30天中潛伏期人群達(dá)到頂峰，而30天左右感染者達(dá)到頂峰，疫情迎來大爆炸，隨著康復(fù)人群的上升，疫情在三個(gè)月左右基本結(jié)束。這大體上符合目前2019-nCoV的走勢。同時(shí)可以看出疫情防控中，對感染者的隔離、對潛伏者的盡早識別和控制都是重中之重。

? ? ? 數(shù)學(xué)無處不在，通過以上模型的介紹，相信大家對傳染病有了更加深入的認(rèn)識。傳染病防控離不開多個(gè)學(xué)科的合作，希望通過數(shù)學(xué)人的共同努力，讓傳染病防控水平得到進(jìn)一步提升！

文編：網(wǎng)易羊

美編：陳茜

責(zé)編：王天曉

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的seir模型matlab_疫情专题 | 传染病的经典数学模型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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